ما هو ميل الخط الطبيعي إلى خط المماس f (x) = ثانية ^ 2x-xcos (x-pi / 4) عند x = (15pi) / 8؟

إجابة:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

الرسم البياني التفاعلي

تفسير:

أول شيء سنحتاج إلى القيام به هو حساب # F '(خ) # في #x = (15 نقطة في البوصة) / 8 #.

دعونا نفعل هذا المصطلح بواسطة مصطلح. ل # ثانية ^ 2 (س) # مصطلح ، لاحظ أن لدينا وظيفتين جزءا لا يتجزأ من بعضها البعض: # س ^ 2 #و #sec (خ) #. لذلك ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة سلسلة هنا:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (blue) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

بالنسبة إلى الفصل الثاني ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة المنتج. وبالتالي:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = اللون (الأحمر) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + اللون (الأحمر) (d / dxcos (x-pi / 4)) (خ) #

#color (blue) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

قد تتساءل لماذا لم نستخدم قاعدة سلسلة لهذا الجزء ، لأن لدينا # (x - pi / 4) # داخل جيب التمام. الجواب هو أننا فعلنا ضمني ا ، لكننا تجاهلناه. لاحظ كيف مشتق من # (x - pi / 4) # هو ببساطة 1؟ وبالتالي ، فإن ضرب ذلك على لا يغير أي شيء ، لذلك نحن لا نكتبه في الحسابات.

الآن ، نضع كل شيء مع ا:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = اللون (البنفسجي) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

مشاهدة علاماتك.

الآن ، نحن بحاجة إلى العثور على منحدر خط الظل إلى # F (خ) # في #x = (15 نقطة في البوصة) / 8 #. للقيام بذلك ، نحن فقط سد هذه القيمة في # F '(خ) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = اللون (البنفسجي) (~~ -6.79) #

ومع ذلك ، فإن ما نريده ليس الخط المماس إلى f (x) ، ولكن الخط عادي لذلك. للحصول على هذا ، نأخذ فقط المعامل السلبي للميل أعلاه.

#m_ (norm) = -1 / -15.78 لون (بنفسجي) (~~ 0.015) #

الآن ، نحن فقط نضع كل شيء في شكل نقطة منحدر

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

ألق نظرة على هذا الرسم البياني التفاعلي لترى كيف يبدو هذا!

نأمل أن ساعد:)