إجابة:
تفسير:
إذا كان نصف القطر r ، فإن معدل تغيير r بالنسبة إلى الوقت t ،
حجم كدالة من دائرة نصف قطرها r لكائن كروي هو
نحن بحاجة إلى إيجاد
الآن،
لكن
يزيد نصف قطر البالون الكروي بمقدار 5 سم / ثانية. ما هو معدل نفخ الهواء في البالون في الوقت الذي يبلغ قطره 13 سم؟
هذه مشكلة ذات صلة بمعدلات التغيير (التغيير). سيتم قياس معدل نفخ الهواء بالحجم لكل وحدة زمنية. هذا هو معدل تغير الحجم فيما يتعلق بالوقت. المعدل الذي يتم فيه نفخ الهواء هو نفس معدل زيادة حجم البالون. V = 4/3 pi r ^ 3 نحن نعرف (dr) / (dt) = 5 "cm / sec". نريد (dV) / (dt) عندما يكون r = 13 "سم". التفريق بين V = 4/3 pi r ^ 3 ضمني ا فيما يتعلق td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) قم بتوصيل ما تعرفه وحله بما لا تعرفه. (dV) / (dt) = 4 pi (13 "cm") ^ 2 (5 "cm / sec") = 20 * 169 * pi "cm" ^ 3 "/ sec" يتم
تشكل المياه المتسربة على الأرضية بركة دائرية. يزيد نصف قطر المسبح بمعدل 4 سم / دقيقة. ما مدى سرعة زيادة مساحة المسبح عندما يكون نصف قطرها 5 سم؟
40pi "cm" ^ 2 "/ min" أولا ، يجب أن نبدأ بمعادلة نعرفها تتعلق بمساحة دائرة ، وتجمع ، ونصف قطرها: A = pir ^ 2 ومع ذلك ، نريد أن نرى مدى سرعة منطقة المجمع يزداد ، وهو ما يشبه إلى حد كبير معدل ... الذي يبدو مثل الكثير من المشتقات. إذا أخذنا مشتق A = pir ^ 2 فيما يتعلق بالوقت ، فسنرى ما يلي: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (لا تنس أن قاعدة السلسلة تنطبق على اليمين جنب جنب ، مع r ^ 2 - هذا يشبه التمايز الضمني.) لذلك ، نحن نريد تحديد (dA) / dt. أخبرنا السؤال أن (dr) / dt = 4 عندما قال "يزيد نصف قطر التجمع بمعدل 4 سم / دقيقة" ، ونعلم أيض ا أننا نريد العثور على (dA) / dt عندما r = 5 . عند توصيل هذه ال
إذا كان نصف قطر الكرة يزداد بمعدل 4 سم في الثانية الواحدة ، ما مدى سرعة زيادة الحجم عندما يكون القطر 80 سم؟
12،800cm3s هذه مشكلة كلاسيكية متعلقة بالأسعار. الفكرة وراء "الأسعار المرتبطة" هي أن لديك نموذج ا هندسي ا لا يتغير ، حتى مع تغير الأرقام. على سبيل المثال ، سيبقى هذا الشكل كرة حتى يتغير الحجم. العلاقة بين حجم المكان ونصف قطره هي V = 4 / 3pir ^ 3 طالما أن هذه العلاقة الهندسية لا تتغير مع نمو الكرة ، فيمكننا اشتقاق هذه العلاقة ضمني ا وإيجاد علاقة جديدة بين معدلات التغيير . التمايز الضمني هو المكان الذي نستمد فيه كل متغير في الصيغة ، وفي هذه الحالة ، نشتق الصيغة فيما يتعلق بالوقت. لذلك نحن نأخذ مشتق مجالنا: V = 4 / 3pir ^ 3 (dV) / (dt) = 4 / 3pi (3r ^ 2) (dr) / dt (dV) / (dt) = 4pir ^ 2 (dr ) / dt لقد أعطيت لنا بالفع