إجابة:
تفسير:
أولا ، يجب أن نبدأ بمعادلة نعرفها تتعلق بمساحة دائرة ، وحمام السباحة ، ونصف قطرها:
# A = البير ^ 2 #
ومع ذلك ، نريد أن نرى مدى سرعة زيادة مساحة حمام السباحة ، وهو ما يشبه إلى حد كبير معدل … الذي يشبه إلى حد كبير مشتق.
إذا أخذنا مشتق من
# (دا) / دينارا = بي * * 2R (الدكتور) / دينارا #
(لا تنس أن قاعدة السلسلة تنطبق على الجانب الأيمن ، مع
لذلك ، نريد أن نحدد
# (دا) / دينارا = بي * 2 (5) * 4 = 40pi #
لوضع هذا في الكلمات ، نقول ما يلي:
مجال تجمع يتزايد بمعدل
# # bb40pi سم# "" ^ BB2 # / دقيقة عندما يكون نصف قطر الدائرة# # BB5 سم.
يزداد نصف قطر البالون الكروي بمعدل 2 سم في الدقيقة. ما مدى سرعة تغيير الحجم عندما يكون نصف قطرها 14 سم؟
1568 * pi سم / دقيقة إذا كان نصف القطر r ، فإن معدل التغير r فيما يتعلق بالوقت t ، d / dt (r) = 2 سم / دقيقة حجم الصوت كدالة لنصف قطر r لكائن كروي هو V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 نحن بحاجة إلى إيجاد d / dt (V) عند r = 14cm الآن ، d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) لكن d / dt (r) = 2 سم / دقيقة. وبالتالي ، d / dt (V) عند r = 14 سم هي: 4pi * 14 ^ 2 * 2 cm مكعب / دقيقة = 1568 * pi cc / دقيقة
يتسرب الماء من خزان مخروطي مقلوب بمعدل 10000 سم 3 / دقيقة في نفس الوقت يتم ضخ المياه في الخزان بمعدل ثابت إذا كان ارتفاع الخزان 6 أمتار وقطره 4 م و إذا كان مستوى الماء يرتفع بمعدل 20 سم / دقيقة عندما يكون ارتفاع الماء 2 متر ، كيف يمكنك العثور على معدل ضخ المياه في الخزان؟
اسمحوا V يكون حجم الماء في الخزان ، في الطول ^ 3 ؛ دعنا نكون عمق / ارتفاع الماء ، بالطول ؛ واسمحوا ص يكون نصف قطر سطح الماء (في الأعلى) ، في الطول. لأن الخزان مخروط مقلوب ، وكذلك كتلة الماء. نظر ا لأن الخزان يبلغ ارتفاعه 6 أمتار ونصف قطره أعلى 2 م ، فإن المثلثات المماثلة تشير إلى أن frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 بحيث يكون h = 3r. حجم مخروط الماء المقلوب هو V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. قم الآن بالتمييز بين الجانبين فيما يتعلق بالوقت t (بالدقائق) للحصول على frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} (يتم استخدام قاعدة السلسلة في هذا خطوة). إذا كان V_ {i} هو حجم الماء الذي تم ضخه ، فإن frac {dV} {dt} =
ينتشر تسرب النفط من ناقلة تمزق في دائرة على سطح المحيط. تزداد مساحة الانسكاب بمعدل 9π متر مربع / دقيقة. ما مدى سرعة زيادة نصف قطر الانسكاب عندما يكون نصف القطر 10 أمتار؟
الدكتور | _ (ص = 10) = 0.45m // دقيقة. نظر ا لأن مساحة الدائرة هي A = pi r ^ 2 ، فقد نأخذ الفرق بين كل جانب للحصول على: dA = 2pirdr ومن ثم يتغير نصف القطر بالمعدل dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) وهكذا ، د | _ (ص = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45m // دقيقة.