زاويتان من مثلث متساوي الساقين هي في (7 ، 5) و (3 ، 6). إذا كانت مساحة المثلث 6 ، فما هي أطوال جوانب المثلث؟

إجابة:

هناك عدة طرق للقيام بذلك ؛ وأوضح الطريق مع أقل عدد من الخطوات أدناه.

السؤال غامض حول أي طرفين لهما نفس الطول. في هذا الشرح ، سوف نفترض أن الجانبين من نفس الطول متساويان حتى الآن.

تفسير:

طول جانب واحد يمكننا معرفة فقط من الإحداثيات التي أعطيت لنا.

# ل= الجذر التربيعي ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# ل= الجذر التربيعي (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# ل= الجذر التربيعي (16 + 1) #

# ل= sqrt17 #

ثم يمكننا استخدام الصيغة الخاصة بمساحة المثلث من حيث أطواله الجانبية لمعرفة ذلك #ب# و # ج #.

# A = الجذر التربيعي (ق (ق-أ) (ق-ب) (ق-ج)) #

أين # ق = (أ + ب + ج) / 2 # (تسمى نصف محيط)

منذ # ل= الجذر التربيعي (17) # معروف ، ونحن نفترض # ب = ج #، نحن لدينا

# ق = (sqrt17 + ب + ب) / 2 #

#COLOR (أحمر) (ق = sqrt17 / 2 + ب) #

استبدال هذا في صيغة المنطقة أعلاه ، وكذلك # A = 6 # و # ل= sqrt17 #، نحن نحصل

# 6 = الجذر التربيعي ((لون (أحمر) (الجذر التربيعي (17) / 2 + ب)) (لون (أحمر) (الجذر التربيعي (17) / 2 + ب) -sqrt17) (لون (أحمر) (الجذر التربيعي (17) / 2 + ب) -b) (لون (أحمر) (الجذر التربيعي (17) / 2 + ب) -b)) #

# 6 = الجذر التربيعي ((الجذر التربيعي (17) / 2 + ب) (- الجذر التربيعي (17) / 2 + ب) (الجذر التربيعي (17) / 2) (الجذر التربيعي (17) / 2)) #

# 6 = (الجذر التربيعي (17) / 2) الجذر التربيعي ((ب + الجذر التربيعي (17) / 2) (ب-الجذر التربيعي (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = الجذر التربيعي (ب ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = ب ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = ب ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = ب ^ 2 #

# 865/68 = ب ^ 2 #

# ب = الجذر التربيعي (865/68) = ج #

حلنا هو # a = sqrt (17) ، b = c = sqrt (865/68) #.

الحاشية 1:

من الممكن أن يكون لديك مثلث ذو وجهين #sqrt (17) # والمنطقة # A = 6 # (وهذا هو ، أن يكون # ل= ب = الجذر التربيعي (17) # بدلا من # ب = ج #). هذا سوف يؤدي إلى حل مختلف.

الحاشية 2:

يمكننا حل هذه المسألة أيض ا من خلال إيجاد إحداثيات النقطة الثالثة. هذا من شأنه أن ينطوي:

أ) العثور على طول الجانب المعروف #ا#

ب) العثور على المنحدر # م # بين النقطتين المعطيتين

ج) العثور على نقطة الوسط # (X_1، y_1) # بين النقطتين المعطيتين

د) العثور على "الارتفاع" # ح # من هذا المثلث باستخدام # أ = 1/2 آه #

ه) العثور على ميل الارتفاع باستخدام #m_h = (- 1) / م #

و) باستخدام كل من صيغة نقطة الميل # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-X_1) # وصيغة الارتفاع # ح = الجذر التربيعي ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-X_1) ^ 2) # لحل لأحد إحداثيات النقطة الثالثة # (x_2، y_2) #

ز) بعد الجمع بين هاتين المعادلتين ، تبسيط العوائد

# x_2 = ح / (الجذر التربيعي (m_h ^ 2 + 1)) + X_1 #

ح) توصيل القيم المعروفة لـ # ح #, # # m_hو # # X_1 للحصول على # # x_2

ط) باستخدام واحدة من المعادلتين في (و) لإيجاد # # y_2

ي) باستخدام صيغة المسافة للعثور على الأطوال الجانبية (المتطابقة) المتبقية

# ب = ج = الجذر التربيعي ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = الجذر التربيعي ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

يمكنك أن ترى لماذا الطريقة الأولى أسهل.