كيف يمكنك العثور على الحد الأقصى المطلق والقيم الدنيا المطلقة لـ f على الفاصل الزمني المحدد: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) في [-1 ، 5]؟

إجابة:

Reqd. القيم القصوى هي # -25 / 2 و 25/2 #.

تفسير:

نحن نستخدم الاستبدال # t = 5sinx ، في -1،5 #.

لاحظ أن هذا الاستبدال مسموح ، لأنه ،

# t في -1،5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, الذي يحمل جيدة ، ومجموعة من # # الخطيئة مرح. هو #-1,1#.

الآن، # F (ر) = tsqrt (25 ر ^ 2) = 5sinx * الجذر التربيعي (25-25sin ^ 2X) #

# = 5sinx * 5cosx = = 25sinxcosx 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

منذ، # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

لذلك ، reqd. الأطراف # -25 / 2 و 25/2 #.

إجابة:

ابحث عن رتابة الدالة من علامة المشتق وقرر الحد الأقصى / الحد الأدنى المحلي هو الأكبر والأصغر.

الحد الأقصى المطلق هو:

# F (3.536) = 12.5 #

الحد الأدنى المطلق هو:

# F (-1) = - 4.899 #

تفسير:

# F (ر) = tsqrt (25 ر ^ 2) #

مشتق الوظيفة:

# F '(ر) = الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) + ر * 1 / (2sqrt (25 ر ^ 2)) (25 ر ^ 2)' #

# F '(ر) = الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) + ر * 1 / (2sqrt (25 ر ^ 2)) (- 2T) #

# F '(ر) = الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) -t ^ 2 / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) #

# F '(ر) = الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) ^ 2 / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) -t ^ 2 / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) #

# F '(ر) = (25 ر ^ 2 ر ^ 2) / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) #

# F '(ر) = (25-2t ^ 2) / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) #

# F '(ر) = 2 (12.5 ر ^ 2) / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) #

# F '(ر) = 2 (الجذر التربيعي (12.5) ^ 2 ر ^ 2) / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) #

# F '(ر) = 2 ((الجذر التربيعي (12.5) -t) (الجذر التربيعي (12.5) + ر)) / الجذر التربيعي (25 ر ^ 2) #

• البسط حلان:

  # t_1 = الجذر التربيعي (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  لذلك ، البسط هو:

  سلبي لـ #t in (-oo، -3.536) uu (3.536، + oo) #

  إيجابي ل #t in (-3.536،3.536) #

• القاسم هو دائما إيجابية في # # RR، لأنه الجذر التربيعي.

  أخير ا ، النطاق المعطى هو #-1,5#

لذلك ، مشتق الوظيفة هو:

- سلبي ل #t in -1،3.536) #

- إيجابي ل #t in (3.536،5) #

هذا يعني أن الرسم البياني يرتفع أولا # F (-1) # إلى # F (3،536) # ثم يذهب إلى # F (5) #. هذا يجعل # F (3،536) # الحد الأقصى المطلق وأكبر قيمة # F (-1) # و # F (5) # هو الحد الأدنى المطلق.

الحد الأقصى المطلق هو # F (3،536) #:

# F (3.536) = 3.536sqrt (25-3،536 ^ 2) = 12.5 #

للحد الأقصى المطلق:

# F (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

# F (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

وبالتالي، # F (-1) = - 4.899 # هو الحد الأدنى المطلق.

يمكنك أن ترى من الرسم البياني أدناه أن هذا صحيح. فقط تجاهل المنطقة اليسرى من #-1# لأنه خارج المجال:

رسم بياني {xsqrt (25 × ^ 2) -14.4 ، 21.63 ، -5.14 ، 12.87}