ما هي معادلة القطع المكافئة التي لها قمة في (7 ، 9) وتمر عبر النقطة (0 ، 2)؟

إجابة:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

تفسير:

تتطلب هذه المشكلة أن نفهم كيف يمكن تحويل الوظيفة وتمديدها لتلبية معايير معينة. في هذه الحالة ، وظيفتنا الأساسية هي #y = x ^ 2 #. هذا يصف القطع المكافئة التي لها قمة الرأس في #(0,0)#. ومع ذلك يمكننا توسيعه على النحو التالي:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

في الوضع الأساسي:

# أ = 1 #

# ب = ج = 0 #

ولكن عن طريق تغيير هذه الثوابت ، يمكننا التحكم في شكل وموضع القطع المكافئ لدينا. سنبدأ مع قمة الرأس. لأننا نعلم أنه يجب أن يكون في #(7,9)# نحن بحاجة إلى تحويل المكافئ الافتراضي إلى اليمين من قبل #7# وما فوق #9#. وهذا يعني التلاعب #ب# و # ج # المعلمات:

بوضوح # ج = 9 # لأن هذا سيعني كل شيء # ذ # القيم سوف تزيد بنسبة #9#. ولكن أقل وضوحا ، # ب = -7 #. هذا لأنه عندما نضيف عامل إلى # # س المدى ، فإن التحول سيكون عكس هذا العامل. يمكننا أن نرى ذلك هنا:

#x + b = 0 #

#x = -b #

عندما نضيف #ب# إلى # # س، ننتقل إلى قمة الرأس #-ب# في ال # # س اتجاه.

لذلك لدينا مكافئ حتى الآن هو:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

لكننا نحتاج إلى مدها لتمرير النقطة #(0,2)#. هذا بسيط مثل توصيل هذه القيم:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

# أ = -1 / 7 #

وهذا يعني أن لدينا مكافئ سيكون لهذه المعادلة:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #