ما هي قمة y = x ^ 2 -9 - 8x؟

إجابة:

قمة الرأس هي #(4,-25)#.

تفسير:

ضع المعادلة أولا في النموذج القياسي.

# ص = س ^ 2-8x-9 #

هذه معادلة من الدرجة الثانية بشكل قياسي ، # الفأس ^ 2 + ب س + ج #، أين # a = 1 ، b = -8 ، c = -9 #.

القمة هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى للنقطة المكافئة. في هذه الحالة ، منذ ذلك الحين # أ> 0 #، المكافئ يفتح للأعلى والرأس هو النقطة الدنيا.

للعثور على قمة الرأس المكافئ في شكل قياسي ، أوجد أولا محور التناظر ، الذي سيعطينا ذلك # # س. محور التناظر هو الخط التخيلي الذي يقسم القطع المكافئ إلى نصفين متساويين. بمجرد أن لدينا # # س، يمكننا استبداله في المعادلة وحل ل # ذ #، يعطينا # ذ # قيمة قمة الرأس.

محاور التماثل

# ضعف = (- ب) / (2A) #

استبدال القيم ل #ا# و #ب# في المعادلة.

# ضعف = (- (- 8)) / (2 * 1) #

تبسيط.

# س = 8/2 #

# س = 4 #

تحديد القيمة ل # ذ #.

استبدل #4# إلى عن على # # س في المعادلة.

# ذ = 4 ^ 2- (8 * 4) -9 #

تبسيط.

# ذ = 16-32-9 #

تبسيط.

# ص = -25 #

قمة الرأس = # (س، ص) #=#(4,-25)#.

رسم بياني {y = x ^ 2-8x-9 -10.21 ، 7.01 ، -26.63 ، -18.02}

إجابة:

#(4, -25)#

تفسير:

نحن معطىون # ص = س ^ 2-9-8x #.

أولا أريد تحويل هذا إلى شكل قياسي. هذا أمر سهل ، نحتاج فقط إلى إعادة ترتيبه ليناسب # الفأس ^ 2 + ب س + ج # شكل.

الآن لدينا # س ^ 2-8x-9 #. أسهل طريقة للحصول على نموذج قياسي في شكل قمة الرأس هي عن طريق إكمال المربع. عملية استكمال المربع تبذل # x ^ 2-8x + (فارغة) # مربع مثالي. نحن فقط بحاجة للعثور على القيمة التي تكمل ذلك. أولا نأخذ المدى المتوسط ، # # -8x، وقسمه على 2 (هكذا #-8/2#، الذي #-4#). ثم نحن مربع الإجابة ، #(-4)^2#، الذي #16#.

الآن نحن سد العجز في #16# في المعادلة لجعل مربع مثالي ، أليس كذلك؟

حسن ا ، دعنا نلقي نظرة على ذلك: # س ^ 2-8x + 16-9 = ذ #. الآن ، انظر مرة أخرى. لا يمكننا فقط إضافة رقم عشوائي على جانب واحد من المعادلة وعدم إضافته على الجانب الآخر. ما نقوم به إلى جانب واحد يجب علينا القيام به للطرف الآخر. حتى الآن لدينا # س ^ 2-8x + 16-9 = ذ + 16 #.

بعد أن قمنا بكل هذا العمل ، دعونا نجعل # س ^ 2-8x + 16 # في مربع مثالي ، والذي يشبه هذا # (خ 4) ^ 2 #. يحل محل # س ^ 2-8x + 16 # مع ذلك ولدينا # (خ 4) ^ 2-9 = ذ + 16 #. الآن أنا لا أعرف عنك ، لكني أحببت ذلك # ذ # معزولة ، لذلك دعونا الحصول عليها وحدها عن طريق طرح #16# على كلا الجانبين.

الآن لدينا # (خ 4) ^ 2-9-16 = ذ #، والتي يمكننا تبسيط ل # (خ 4) ^ 2-25 = ذ #.

الآن هذا في شكل قمة الرأس ، وبمجرد أن يكون لدينا أنه من السهل جدا العثور على قمة الرأس. هذا هو شكل قمة الرأس ،#y = a (x - لون (أحمر) (h)) ^ 2 لون (أزرق) (+ k) #، والرأس من ذلك # (اللون (الأحمر) (h ، اللون (الأزرق) (k))) #.

في حالة المعادلة لدينا لدينا # ص = (س-لون (أحمر) (4)) ^ 2color (الأزرق) (- 25) #أو # (اللون (الأحمر) (4) ، اللون (الأزرق) (- 25)) #.

يرجى الملاحظة أن # (اللون (الأحمر) (ح) ، ك) # هو عكس ما كان عليه في المعادلة!

مثال: # ص = (س + 3) ^ 2 + 3 #، قمة الرأس # (لون (أحمر) (-) 3،3) #.

لذلك ، قمة الرأس #(4, -25)#، ويمكننا التحقق من ذلك عن طريق رسم المعادلة وإيجاد قمة الرأس ، وهي أعلى نقطة أو أدنى نقطة في القطع المكافئ.

الرسم البياني {س ^ 2-8x-9}

يبدو أننا حصلنا عليه بشكل صحيح !! عمل رائع!