كيف يمكنني حل هذه المعادلة؟

إجابة:

# "انظر الشرح" #

تفسير:

# "قم أولا بتطبيق نظرية الجذر الرشيد للعثور على الجذور المنطقية." #

# "نجد" x = 1 "كجذر عقلاني." #

# "هكذا" (x-1) "عامل. نقسم هذا العامل بعيد ا:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "لدينا معادلة مكعبة متبقية ليس لها جذور عقلانية." #

# "يمكننا حلها باستبدال طريقة Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "البديل" x = y + 2/9 "، ثم نحصل على" #

# y ^ 3 - (22/27) ذ - (610/729) = 0 #

# "البديل" y = (sqrt (22) / 9) z ". ثم نحصل على" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "البديل" z = t + 1 / t ". ثم نحصل على" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "استبدال" u = t ^ 3 "، تعطي المعادلة التربيعية:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "جذر هذه المعادلة التربيعية هي u = 5.73717252." #

# "استبدال المتغيرات مرة أخرى ، العوائد:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043.

#y = 1.22408929.

#x = 1.44631151.

# "الجذور الأخرى معقدة:" #

# -0.38982242 مساء 0.55586071

# "(يمكن العثور عليها بتقسيمها" (x-1.44631151)) #

إجابة:

الصفر الحقيقي العقلاني هو # س = 1 #.

ثم هناك صفر حقيقي غير عقلاني:

# x_1 = 1/9 (2 + الجذر (3) (305 + 27sqrt (113)) + الجذر (3) (305-27sqrt (113))) #

والأصفار المعقدة غير الحقيقية ذات الصلة.

تفسير:

معطى:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

لاحظ أن مجموع المعاملات هو #0#.

هذا هو: #3-5+2 = 0#

وبالتالي يمكننا أن نستنتج ذلك # س = 1 # هو صفر و # (خ-1) # عامل:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (أبيض) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

المكعب المتبقي أكثر تعقيد ا إلى حد ما …

معطى:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

تحول Tschirnhaus

لجعل مهمة حل المكعب أبسط ، نجعل المكعب أكثر بساطة باستخدام استبدال خطي يعرف باسم تحويل Tschirnhaus.

# 0 = 243f (س) = 729x ^ ^ 3-486x 2-486x-486 #

# = (9X-2) ^ 3-66 (9X-2) -610 #

# = ر ^ 3-66t-610 #

أين # ر = (9X-2) #

طريقة كاردانو

نريد أن نحل:

# ر ^ 3-66t-610 = 0 #

سمح # ر = ش + V #.

ثم:

# ش ^ 3 + ت ^ 3 + 3 (الأشعة فوق البنفسجية-22) (ش + ت) -610 = 0 #

أضف القيد # ت = 22 / ش # للقضاء على # (ش + ت) # المدى والحصول على:

# ش ^ 3 + 10648 / ش ^ 3-610 = 0 #

اضرب خلال # ش ^ 3 # وإعادة ترتيبها قليلا للحصول على:

# (ش ^ 3) ^ 2-610 (ش ^ 3) + 10648 = 0 #

استخدم الصيغة التربيعية للعثور على:

# ش ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

بما أن هذا حقيقي والاشتقاق فيه متماثل # ش # و #الخامس#، يمكننا استخدام واحدة من هذه الجذور ل # ش ^ 3 # والآخر ل # الخامس ^ 3 # للعثور على الجذر الحقيقي:

# t_1 = الجذر (3) (305 + 27sqrt (113)) + جذر (3) (305-27sqrt (113)) #

والجذور المعقدة ذات الصلة:

# t_2 = جذر أوميغا (3) (305 + 27 سرت (113)) + جذر أوميغا 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = أوميغا ^ 2 الجذر (3) (305 + 27sqrt (113)) + أوميغا الجذر (3) (305-27sqrt (113)) #

أين # اوميغا = -1/2 + الجذر التربيعي (3) / 2I # هو جذر مكعب مكعب البدائية #1#.

الآن # س = 1/9 (2 + ر) #. لذا فإن جذور مكعبنا الأصلي هي:

# x_1 = 1/9 (2 + الجذر (3) (305 + 27sqrt (113)) + الجذر (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + جذر أوميغا (3) (305 + 27 سرت (113)) + جذر أوميغا ^ 2 (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + أوميغا ^ 2 الجذر (3) (305 + 27sqrt (113)) + الجذر أوميغا (3) (305-27sqrt (113))) #