هذا هو دليل مثلثي لحالة معممة ، والسؤال هو في مربع التفاصيل؟

إجابة:

والدليل عن طريق الاستقراء أدناه.

تفسير:

دعونا إثبات هذه الهوية عن طريق الاستقراء.

أ # ن = 1 # يجب علينا التحقق من ذلك

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

في الواقع ، باستخدام الهوية #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (ثيتا) -1 #، نحن نرى ذلك

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (ثيتا) -1) * (2cos (ثيتا) +1) #

من الذي يتبع ذلك

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

وذلك ل # ن = 1 # هويتنا صحيح.

افترض أن الهوية صحيحة # ن #

لذلك ، نحن نفترض ذلك

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0، n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(رمز # بي # يستخدم للمنتج)

ج. باستخدام الافتراض B أعلاه ، دعنا نثبت هوية # ن + 1 #

علينا أن نثبت أنه من الافتراض B يتبع

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0، n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(لاحظ أن الحد الصحيح لمؤشر الضرب هو # ن # الآن).

PROOF

باستخدام الهوية #cos (2X) = 2cos ^ 2 (س) -1 # إلى عن على # س = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

قس م التعبيرات البداية والنهاية بواسطة # 2cos (ثيتا) +1 #، الحصول على

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

الآن نستخدم افتراض B الحصول على

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j in 0، n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j in 0، n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(لاحظ أن نطاق الفهرس الآن ممتد إلى # ن #).

الصيغة الأخيرة هي نفسها تماما ل # ن + 1 # كما هو الأصلي ل # ن #. هذا يكمل الدليل بالتحريض على أن صيغتنا صحيحة لأي # ن #.

إجابة:

انظر قسم الإثبات في الشرح أدناه.

تفسير:

هذا يعادل إثبات ذلك ،

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2X-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (ن 1) س 1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (ن 1) س 1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (ن 1) س 1) #

# = (4cos ^ 2 (2X) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (ن 1) س 1) #

# = (2cos (2 * 2X) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (ن 1) س 1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (ن 1) س 1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (ن 1) س 1) #

# # vdots

# = {2cos (2 * 2 ^ (ن 1) خ) +1)} #

# = (2cos2 ^ NX + 1) #

# = "The R.H.S." #

استمتع الرياضيات.