ما هي extrema لـ f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 على الفاصل الزمني [-1،3]؟

إجابة:

لدينا الحد الأدنى في # س = 0 # ونقطة انعطاف في # س = 3 #

تفسير:

الحد الأقصى هو نقطة عالية ترتفع فيها الوظيفة ثم تنخفض مرة أخرى. على هذا النحو ، يكون انحدار المماس أو قيمة المشتق عند هذه النقطة صفر ا.

علاوة على ذلك ، حيث أن الظلال على يسار الحد الأقصى سوف تنحدر صعود ا ، ثم تتسطح ثم تنحدر إلى الأسفل ، فإن ميل الظل يتناقص باستمرار ، أي أن قيمة المشتق الثاني ستكون سالبة.

الحد الأدنى من ناحية أخرى هو نقطة منخفضة تسقط فيها الوظيفة ثم ترتفع مرة أخرى. على هذا النحو فإن الظل أو قيمة المشتق عند الحد الأدنى سيكون صفر ا.

ولكن ، بما أن الظلال الموجودة على يسار الحد الأدنى سوف تنحدر لأسفل ، ثم تتسطح ثم تنحدر صعود ا ، فإن منحدر الظل يزداد بشكل مستمر أو ستكون قيمة المشتق الثاني إيجابية.

إذا كانت المشتقة الثانية تساوي الصفر ، فلدينا نقطة

ومع ذلك ، قد تكون هذه الحد الأقصى والحد الأدنى عالمي ا ، أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى للنطاق بأكمله أو قد تكون مترجمة ، أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى في نطاق محدود.

دعنا نرى هذا بالإشارة إلى الوظيفة الموصوفة في السؤال ، ولهذا دعونا نفرق أولا # F (س) = (س ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

مشتقه الاول هو المعطى من قبل # F '(س) = 3 (س ^ 2-9) ^ 2 * 2X #

= # 6X (س ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6X ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

هذا سيكون صفر ل # س ^ 2-9 = 0 # أو # ضعف = + - 3 # أو #0#. من هؤلاء فقط #{0,3}# هي ضمن النطاق #-1,3}#.

وبالتالي الحد الأقصى أو الحد الأدنى يحدث في نقاط # س = 0 # و # س = 3 #.

لمعرفة ما إذا كان الحد الأقصى أو الحد الأدنى ، دعونا ننظر إلى الفرق الثاني الذي هو # F '(س) = 30X ^ 4-324x ^ 2 + 486 # وبالتالي في حين

في # س = 0 #, # F '(س) = 486 # و هو إيجابي

في # س = 3 #, # F '(س) = 2430-2916 + 486 = 0 # وهي نقطة انعطاف.

وبالتالي ، لدينا الحد الأدنى المحلي في # س = 0 # ونقطة انعطاف في # س = 3 #

. رسم بياني {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5، 5، -892، 891}

إجابة:

الحد الأدنى المطلق هو #(-9)^3+10# (الذي يحدث في #0#) ، الحد الأقصى المطلق على الفاصل الزمني هو #10#، (الذي يحدث في #3#)

تفسير:

لا يحدد السؤال ما إذا كنا سنجد extrema نسبي ا أو مطلق ا ، لذا سنجد كليهما.

يمكن أن تحدث النتوءات النسبية فقط بالأرقام الحرجة. الأرقام الحرجة هي قيم # # س التي هي في مجال #F# وفيها أيضا # F '(س) = 0 # أو # f '(x) غير موجود. (نظرية فيرما)

يمكن أن يحدث الحد الأقصى المطلق على الفاصل الزمني المغلق بالأرقام الحرجة في الفاصل الزمني أو عند نقاط الفاصل الزمني.

لأن الوظيفة المطلوبة هنا مستمرة #-1,3#، نظرية القيمة القصوى تؤكد لنا ذلك #F# يجب أن يكون الحد الأدنى المطلق والحد الأقصى المطلق على الفاصل الزمني.

أعداد حرجة و extrema النسبية.

إلى عن على #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #، نجد #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

بوضوح، #F'# لا يفشل أبدا في الوجود ، لذلك لا توجد أرقام حرجة من هذا النوع.

حل # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # غلة الحلول #-3#, #0#و #3#.

#-3# ليس في مجال هذه المشكلة ، #-1,3# لذلك نحن بحاجة إلى التحقق فقط # F (0) # و # F (3) #

إلى عن على #x <0 #، نحن لدينا #f '(x) <0 # و

إلى عن على #x> 0 #، نحن لدينا #f '(x)> 0 #.

لذلك ، من خلال أول اختبار مشتق ، # F (0) # هو الحد الأدنى النسبي. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

الرقم الحرج الآخر في الفاصل الزمني هو #3#. إذا تجاهلنا تقييد النطاق ، فسوف نجد ذلك #f '(x)> 0 # للجميع # # س قريب #3#. لذلك ، تزيد الوظيفة على فواصل زمنية صغيرة تحتوي على #3#. لذلك ، إذا توقفنا في #3# لقد وصلنا إلى أعلى نقطة في المجال.

يوجد ليس اتفاق عالمي سواء لقول ذلك # F (3) = 10 # هو الحد الأقصى النسبي لهذه الوظيفة على #-1,3#.

تتطلب بعض القيمة على كلا الجانبين ليكون أقل ، والبعض الآخر يتطلب القيم في المجال على جانبي لتكون أقل.

الاطلاق المطلق

حالة extrema المطلقة على فاصل مغلق # أ، ب # أبسط بكثير.

البحث عن الأرقام الحرجة في الفاصل الزمني المغلق. اتصل ب # c_1 ، c_2 # وما إلى ذلك وهلم جرا.

احسب القيم #f (a) ، f (b) ، f (c_1) ، f (c_2) # وما إلى ذلك وهلم جرا. أكبر قيمة هي maixmum المطلقة على الفاصل الزمني وأقل قيمة هي الحد الأدنى المطلق على الفاصل الزمني.

في هذا السؤال نحسب #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # و #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

الحد الأدنى هو #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # و

الحد الأقصى هو #f (-3) = 10 #.