إثبات أن المهد (A / 2) - 3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA)؟

إجابة:

يرجى الرجوع إلى تفسير.

تفسير:

نحن نعرف ذلك،

# tan3theta = (3tantheta تان ^ 3theta) / (1-3tan ^ 2theta) #.

#:. cot3theta = 1 / (tan3theta) = (1-3tan ^ 2theta) / (3tantheta تان ^ 3theta) #

#:. سرير ((3A) / 2) = {1-3tan ^ 2 (A / 2)} / {3tan (A / 2) -tan ^ 3 (A / 2)} #.

السماح #tan (A / 2) = ر، # نحن لدينا،

#cot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #, # = 1 / تي 3 {(1-3T ^ 2) / (3T-ر ^ 3)} #, # 1 / تي {3 (1-3T ^ 2)} / {ر (3 ر ^ 2)} #, # = {(3 ر ^ 2) -3 (1-3T ^ 2)} / {ر (3 ر ^ 2)} #, # = (8T ^ إلغاء (2)) / {إلغاء (ر) (3 ر ^ 2)} #, # = (8T) / {(1 + ر ^ 2) +2 (1 ر ^ 2)} #

# = {4 * (2T) / (1 + ر ^ 2)} / {(1 + ر ^ 2) / (1 + ر ^ 2) + 2 * (1 ر ^ 2) / (1 + ر ^ 2)} #.

لاحظ أن، # (2t) / (1 + t ^ 2) = {2tan (A / 2)} / / (1 + tan ^ 2 (A / 2)) = sinA ، و #

# (1 ر ^ 2) / (1 + ر ^ 2) = كوسا #.

#rArrcot (A / 2) -3cot ((3A) / 2) = (4sinA) / (1 + 2cosA) ، "كما هو مطلوب!" #

إجابة:

من فضلك، انظر بالأسفل.

تفسير:

# LHS = المهد (س / 2) -3cot ((3X) / 2) #

# = جتا (س / 2) / الخطيئة (س / 2) -3 * كوس ((3X) / 2) / الخطيئة ((3X) / 2) #

# = (الخطيئة ((3X) / 2) * جتا (س / 2) -3 * كوس ((3X) / 2) * الخطيئة (س / 2)) / (الخطيئة (س / 2) * الخطيئة ((3X) / 2) #

# = (2sin ((3X) / 2) * جتا (س / 2) -3 * 2cos ((3X) / 2) * الخطيئة (س / 2)) / (2sin (س / 2) * الخطيئة ((3X) / 2) #

# = (الخطيئة ((3X) / 2 + س / 2) + خطيئة ((3X) / 2 س / 2) -3 * {الخطيئة ((3X) / 2 + س / 2) -sin ((3X) / 2 س / 2)}) / (كوس ((3X) / 2 س / 2) -cos ((3X) / 2 + س / 2) #

# = (الخطيئة ((4X) / 2) + خطيئة ((2X) / 2) -3 * {الخطيئة ((4X) / 2) -sin ((2X) / 2)}) / (كوس ((2X) / 2) -cos ((4X) / 2) #

# = (sin2x + sinx-3sin2x + 3sinx) / (cosx-cos2x) #

# = (4sinx-2sin2x) / (cosx- (كوس ^ 2X-الخطيئة ^ 2X)) #

# = (4sinx-4sinx * cosx) / (cosx-جتا ^ 2X + الخطيئة ^ 2X) #

# = (4sinx (1-cosx)) / (cosx (1-cosx) + (1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (4sinx (1-cosx)) / ((1-cosx) (cosx + 1 + cosx) #

# = (4sinx) / (1 + 2cosx) = RHS #

# LHS = المهد (A / 2) -3cot ((3A) / 2) #

# = كوس (A / 2) / الخطيئة (A / 2) -cos ((3A) / 2) / الخطيئة ((3A) / 2) -2cot ((3A) / 2) #

# = (الخطيئة ((3A) / 2) * جتا (A / 2) -cos ((3A) / 2) * الخطيئة (A / 2)) / (الخطيئة (A / 2) * الخطيئة ((3A) / 2)) - 2cot ((3A) / 2) #

# = sin (A) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) -2cot ((3A) / 2) #

# = (2sin (A / 2) cos (A / 2)) / (sin (A / 2) * sin ((3A) / 2)) -2cot ((3A) / 2) #

# = 2cos (A / 2) / sin ((3A) / 2) -2 * cos ((3A) / 2) / sin ((3 A) / 2) #

# = 2 (cos (A / 2) -cos ((3A) / 2)) / sin ((3 A) / 2) #

# = 2 (2sin (A / 2) sin (A)) / (3sin (A / 2) -4sin ^ 3 (A / 2)) #

# = (4sin (A / 2) sin (A)) / (sin (A / 2) (3-4sin ^ 2 (A / 2)) #

# = (4sin (A)) / (3-2 (1-cosA)) #

# = (4sin (A)) / (1 + 2cosA) = RHS #

إثبات أن (1 + ثانية) / tanx = المهد (x / 2)؟

LHS = (1 + secx) / tanx = (1 + 1 / cosx) / tanx = ((1 + cosx) / إلغاء (cosx)) / (sinx / Cancel (cosx)) = (1 + cosx) / sinx = (2cos ^ 2 (س / 2)) / (2sin (س / 2) * جتا (س / 2)) = المهد (س / 2) = RHS

إثبات الحق في إثبات إقليدس Theorem 1 و 2: ET_1 => overline {BC} ^ {2} = overline {AC} * overline {CH}؛ ET'_1 => bar (AB) ^ {2} = bar (AC) * bar (AH)؛ ET_2 => barAH ^ {2} = overline {AH} * overline {CH}؟ ! [أدخل مصدر الصورة هنا] (https

انظر الدليل في قسم التفسير. دعونا نلاحظ أنه في Delta ABC و Delta BHC ، لدينا ، / _B = / _ BHC = 90 ^ @ ، "common" / _C = "common" / _BCH ، و:. ، / _A = / _ HBC rAr Delta ABC "يشبه" Delta BHC وفق ا لذلك ، فإن الجانبين المقابل لهما متناسبان. :. (AC) / (BC) = (AB) / (BH) = (BC) / (CH) ، أي (AC) / (BC) = (BC) / (CH) rrr BC ^ 2 = AC * CH هذا يثبت ET_1. والدليل على ET'_1 مشابه. لإثبات ET_2 ، نظهر أن Delta AHB و Delta BHC متشابهان. في Delta AHB ، / _AHB = 90 ^ @:. /_ABH+/_BAH=90^@......(1). أيض ا ، / _ABC = 90 ^ @ rArr /_ABH+/_HBC=90^@.........(2). مقارنة (1) و (2) ، /_BAH=/_HBC................ (

إثبات أن المهد 4 × (الخطيئة 5 × + الخطيئة 3 ×) = المهد × (الخطيئة 5 × - الخطيئة 3 ×)؟

# sin a + sin b = 2 sin ((a + b) / 2) cos ((ab) / 2) sin a - sin b = 2 sin ((ab) / 2) cos ((a + b) / 2 ) الجانب الأيمن: cot x (sin 5x - sin 3x) = cot x cdot 2 sin ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x الجانب الأيسر: cot (4x) (sin 5x + sin 3x) = cot (4x) cdot 2 sin ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) = {cos 4x} / {sin 4x} cdot 2 sin 4x cos x = 2 cos x cos 4 x إنهم متساوون في المربع sqrt #