كيف تكتب كثير الحدود مع وظيفة الحد الأدنى من الدرجة في شكل قياسي مع المعاملات الحقيقية التي تشمل الأصفار -3 و 4 و 2؟

إجابة:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # مع #aq في RR #.

تفسير:

سمح # P # كن متعدد الحدود الذي تتحدث عنه. انا افترض #P! = 0 # أو سيكون تافها.

P لها معاملات حقيقية ، لذلك #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. وهذا يعني أن هناك جذر آخر ل P ، #bar (2-i) = 2 + i #، وبالتالي هذا النموذج ل # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # مع #a_j في NN #, #Q في RR X # و #a في RR # لأننا نريد # P # لدينا معاملات حقيقية.

نريد درجة # P # أن تكون صغيرة بقدر الإمكان. إذا #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # ثم #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = sum (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # وبالتالي #deg (Q)> = 0 #. إذا أردنا # P # للحصول على أصغر درجة ممكنة ، إذن #deg (Q) = 0 # (# Q # هو مجرد رقم حقيقي # ف #)، بالتالي #deg (P) = deg (R) # وهنا يمكننا أن نقول ذلك #P = R #. #deg (P) # سوف تكون صغيرة قدر الإمكان إذا كان كل منها #a_j = 0 #. وبالتالي #deg (P) = 4 #.

حتى الآن، #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. دعنا نطور ذلك.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) في RR X #. لذلك هذا التعبير هو الأفضل # P # يمكننا أن نجد مع هذه الظروف!