إثبات: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)؟

لإثبات # 3cos ^ -1X = جتا ^ -1 (4X ^ 3-3x) #

سمح # كوس ^ -1X = ثيتا #

# => س = costheta #

الآن # LHS = 3theta #

# = جتا ^ -1cos (3theta) #

# = جتا ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = جتا ^ -1 (4X ^ 3-3x) #

تبين

# 3 قوس قزح x = قوس قزح (4x ^ 3 -3 ×) #

في بعض الأحيان ، يكون علم حساب المثلثات أقل أهمية في القيام بالرياضيات وأكثر من التعرف على الرياضيات عندما نراها. نحن هنا ندرك # 4x ^ 3 -3x # كما صيغة جيب تمام الزاوية الثلاثية ، # cos (3 theta) # متى # x = cos theta #.

Factoid: # 4X ^ 3-3x # ويسمى أيضا # T_3 (خ) #، الثالث Chebyshev متعدد الحدود من النوع الأول. بشكل عام، # cos (nx) = T_n (cos x). #

سوف نفترض # قوس جيب تمام الزاوية # يشير إلى القيمة الرئيسية. انا افضل للاتصال الرئيسية #text {قوس} {نص} # كوس ولكن هذا أصعب على الكتابة.

خلفية كافية. بمجرد التعرف على صيغة الزاوية الثلاثية ، يكون البرهان سهلا.

دليل:

سمح #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (الأقواس x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 قوس قزح x = قوس قزح (4x ^ 3 - 3x) رباعية sqrt #

تبين أن cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. أنا مرتبك بعض الشيء إذا جعلت Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) و cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) ، فسوف يتحول إلى قيمة سالبة مثل cos (180 ° -theta) = - costheta في الربع الثاني. كيف يمكنني إثبات السؤال؟

من فضلك، انظر بالأسفل. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

إثبات أن 32sin ^ 4x.cos ^ 2x = cos6x-2cos4x-cos 2x + 2؟

RHS = cos6x-2cos4x-cos2x + 2 = cos6x-cos2x + 2 (1-cos4x) = -2sin ((6x + 2x) / 2) * sin ((6x-2x) / 2) + 2 * 2sin ^ 2 ( 2x) = 4sin ^ 2 (2x) -2sin4x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -2 * 2 * sin2x * cos2x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -4sin ^ 2 (2x) * cos2x = 4sin ^ 2 (2x) [1-cos2x] = 4 * (2sinx * cosx) ^ 2 * 2sin ^ 2x = 4 * 4sin ^ 2x * cos ^ 2x * 2sin ^ 2x = 32sin ^ 4x * cos ^ 2x = LHS

إثبات الحق في إثبات إقليدس Theorem 1 و 2: ET_1 => overline {BC} ^ {2} = overline {AC} * overline {CH}؛ ET'_1 => bar (AB) ^ {2} = bar (AC) * bar (AH)؛ ET_2 => barAH ^ {2} = overline {AH} * overline {CH}؟ ! [أدخل مصدر الصورة هنا] (https

انظر الدليل في قسم التفسير. دعونا نلاحظ أنه في Delta ABC و Delta BHC ، لدينا ، / _B = / _ BHC = 90 ^ @ ، "common" / _C = "common" / _BCH ، و:. ، / _A = / _ HBC rAr Delta ABC "يشبه" Delta BHC وفق ا لذلك ، فإن الجانبين المقابل لهما متناسبان. :. (AC) / (BC) = (AB) / (BH) = (BC) / (CH) ، أي (AC) / (BC) = (BC) / (CH) rrr BC ^ 2 = AC * CH هذا يثبت ET_1. والدليل على ET'_1 مشابه. لإثبات ET_2 ، نظهر أن Delta AHB و Delta BHC متشابهان. في Delta AHB ، / _AHB = 90 ^ @:. /_ABH+/_BAH=90^@......(1). أيض ا ، / _ABC = 90 ^ @ rArr /_ABH+/_HBC=90^@.........(2). مقارنة (1) و (2) ، /_BAH=/_HBC................ (