نصف قطر دائرة مدرجة في مثلث متساوي الأضلاع هو 2. ما هو محيط المثلث؟

إجابة:

محيط يساوي # 12sqrt (3) #

تفسير:

هناك العديد من الطرق لمعالجة هذه المشكلة.

هنا هو واحد.

يقع مركز الدائرة المدرج في المثلث على تقاطع شطرات زواياها. بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع ، هذه هي نفس النقطة التي يتقاطع فيها ارتفاعها ووسطاتها أيض ا.

يتم تقسيم أي وسيط بنقطة تقاطع مع متوسطات أخرى بالتناسب #1:2#. لذلك ، فإن bisectors المتوسطة والارتفاع والزاوية لمثلث متساوي الأضلاع في السؤال تساوي

#2+2+2 = 6#

الآن يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس للعثور على جانب من هذا المثلث إذا كنا نعرف منشئه للارتفاع / المتوسط / الزاوية.

إذا كان الجانب هو # # س، من نظرية فيثاغورس

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

من هذا:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) س = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

محيط يساوي ثلاثة من هذه الجوانب:

# 3x = 12sqrt (3) #.

إجابة:

محيط يساوي # 12sqrt (3) #

تفسير:

طريقة بديلة أدناه.

افترض ، لدينا مثلث متساوي الأضلاع هو #Delta ABC # وهو مركز دائرة منقوشة # O #.

ارسم منصف ا متوسط ا / الارتفاع #ا# من خلال نقطة # O # حتى يتقاطع الجانب #قبل الميلاد# عند نقطة # M #. بوضوح، # OM = 2 #.

النظر في مثلث # دلتا OBM #.

انها حق منذ #OM_ | _BM #.

زاوية # / _ OBM = 30 ^ س # منذ # # BO هو منصف زاوية # / _ ABC #.

جانب #بي ام# هو نصف الجانب #قبل الميلاد# منذ #صباحا# هو الوسيط.

الآن يمكننا أن نجد # # OB كما انخفاض ضغط الدم في المثلث الأيمن مع زاوية حادة واحدة تساوي # 30 ^ س # والقطة المعاكسة لها تساوي #2#. هذا الوتر هو ضعف طول هذه القسطرة ، أي #4#.

وجود نقص الوتر # # OB والقطة # # OM، والعثور على القسطرة آخر #بي ام# من فيثاغوري نظرية:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

وبالتالي،

# BM = الجذر التربيعي (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

محيط هو

# 3 * BC = 12sqrt (3) #