هناك 7 أطفال في الفصول الدراسية. في عدد الطرق التي يمكن أن يصطفوا للراحة؟

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

هذه المشكلة بالذات هي تبديل. أذكر أن الفرق بين التباديل والتركيبات هو أنه مع التباديل ، يهم الأمر. بالنظر إلى أن السؤال يسأل عن عدد الطرق التي يمكن للطلاب بها للراحة (أي عدد الطلبات المختلفة) ، فهذا يعد تقلب ا.

تخيل في اللحظة التي كنا نملأ فيها وظيفتين فقط ، الموضع 1 والموقف 2. من أجل التفريق بين طلابنا ، نظر ا لأن الأمر مهم ، سنقوم بتعيين كل رسالة من A إلى G. الآن ، إذا كنا نملأ هذه المناصب واحد ا في وقت واحد ، لدينا سبعة خيارات لملء الموضع الأول: A ، B ، C ، D ، E ، F ، و G. ومع ذلك ، بمجرد ملء هذا الموضع ، لدينا فقط ستة خيارات للثاني ، لأن أحد الخيارات تم بالفعل وضع الطلاب.

على سبيل المثال ، افترض أن A في الموضع 1. ثم تكون طلباتنا المحتملة لمراكزنا هي AB (أي A في الموضع 1 و B في الموضع 2) ، AC ، AD ، AE ، AF ، AG. ومع ذلك … هذا لا يمثل جميع الطلبات المحتملة هنا ، حيث يوجد 7 خيارات للمركز الأول. وبالتالي ، إذا كانت B في الموضع 1 ، فستكون لدينا إمكانيات BA و BC و BD و BE و BF و BG. وبالتالي ، فإننا نضرب أعداد الخيارات لدينا مع ا: #7*6 = 42#

إذا نظرنا إلى الوراء في المشكلة الأولية ، هناك 7 طلاب يمكن وضعهم في الموضع 1 (مرة أخرى ، على افتراض أننا نملأ الوظائف من 1 إلى 7 بالترتيب). بمجرد ملء الموضع 1 ، يمكن وضع 6 طلاب في الموضع 2. مع شغل الموضعين 1 و 2 ، يمكن وضع 5 في الموضع 3 ، وما إلى ذلك ، حتى يتم تعيين طالب واحد فقط في الموضع الأخير. وهكذا ، بضرب أعدادنا من الخيارات مع ا ، نحصل عليها #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

للحصول على صيغة أكثر عمومية للعثور على عدد التباديل من # ن # الأشياء التي اتخذت # ص # في الوقت، من دون بديل (بمعنى أن الطالب في الموضع 1 لا يعود إلى منطقة الانتظار ويصبح خيار ا للموقف 2) ، فإننا نميل إلى استخدام الصيغة:

عدد التباديل = # "ن!" / "(ن-ص)!" #.

مع # ن # عدد الكائنات ، # ص # عدد الوظائف المراد شغلها ، و #!# رمز لل مضروب، العملية التي تعمل على عدد صحيح غير سالب #ا# مثل ذلك #ا!# = #atimes (أ-1) مرات (أ-2) مرات (على بعد 3) مرات … مرة (1) #

وبالتالي ، باستخدام صيغتنا مع المشكلة الأصلية ، حيث لدينا 7 طلاب حصلوا على 7 في وقت واحد (على سبيل المثال نرغب في ملء 7 وظائف) ، لدينا

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

قد يبدو عكسيا ذلك #0! = 1#. ومع ذلك ، هذا هو الحال بالفعل.