كيف يمكنك العثور على int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx باستخدام الكسور الجزئية؟

إجابة:

تحاول تقسيم الوظيفة المنطقية إلى مبلغ يسهل دمجه بالفعل.

تفسير:

في البداية: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

يتيح لك التحلل الجزئي الجزئي القيام بذلك:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # مع # a ، b في RR # أن عليك أن تجد.

من أجل العثور عليهم ، يجب عليك مضاعفة كلا الجانبين بواحدة من كثير الحدود على يسار المساواة. أريكم مثالا واحدا ، المعامل الآخر هو إيجاد الطريقة نفسها.

سنجد #ا#: علينا مضاعفة كل شيء # # س من أجل جعل معامل أخرى تختفي.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1) #.

#x = 0 iff -1 = a #

أنت تفعل الشيء نفسه من أجل العثور عليها #ب# (أنت تضرب كل شيء ب # (خ-1) # ثم اخترت #x = 1 #) ، وتكتشف ذلك # ب = 1 #.

وبالتالي # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #، مما يعني أن #int (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #