كيف يمكنك العثور على int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx باستخدام الكسور الجزئية؟

إجابة:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

تفسير:

سمح # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # كن = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

توسيع الجانب الأيمن ، نحصل عليه

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Equating ، نحصل عليها

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

أي #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

أو #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

أو # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

معادلة معامل x إلى 0 ومساواة الثوابت ، نحصل عليها

#A + B = 3 # و

# -2A + B = 0 #

حل ل A & B ، نحصل عليها

#A = 1 و B = 2 #

استبدال في التكامل ، نحصل عليها

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

كيف يمكنك دمج int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) باستخدام الكسور الجزئية؟

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C نحتاج إلى العثور على A و B و C بحيث 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) لجميع x. اضرب كلا الجانبين ب x ^ 2 (2x-1) لتحصل على 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB معاملات المعادلة تعطينا {(2A + C = 0) ، (2B-A = 0) ، (- B = 1):} وبالتالي لدينا A = -2، B = -1، C = 4. استبدال هذا في المعادلة الأولية ، نحصل على 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 الآن ، قم بدمجها مصطلح ا بالمصطلح int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx للحصول على 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

كيف يمكنك دمج int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) باستخدام الكسور الجزئية؟

يجب أن تتحلل (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) ككسر جزئي. أنت تبحث عن a و b و c في RR بحيث (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + ج / (س + 4). سأريكم كيفية العثور على فقط ، لأن b و c يمكن العثور عليهما بنفس الطريقة بالضبط. تضرب كلا الجانبين في x + 3 ، وهذا سيجعله يختفي من مقام الجانب الأيسر ويجعله يظهر بجوار b و c. (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4). قمت بتقييم هذا في x-3 من أجل جعل b و c تختفي وتجد a. x = -3 iff 12/9 = 4/3 = a. أنت تفعل الشيء نفسه بالنسبة إلى b و c ، إلا أنك تضرب كلا الجا

كيف يمكنك العثور على int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx باستخدام الكسور الجزئية؟

تحاول تقسيم الوظيفة المنطقية إلى مبلغ يسهل دمجه بالفعل. أولا وقبل كل شيء: x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1). يتيح لك تحلل الكسر الجزئي القيام بذلك: (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) مع a ، b في RR الذي يتعين عليك العثور عليه. من أجل العثور عليهم ، يجب عليك مضاعفة كلا الجانبين بواحدة من كثير الحدود على يسار المساواة. أريكم مثالا واحدا ، المعامل الآخر هو إيجاد الطريقة نفسها. سنعثر على: يجب علينا مضاعفة كل شيء في x لجعل المعامل الآخر يختفي. 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1). x = 0 iff -1 = a أنت تفعل الشيء نفسه من أجل إيجاد b (تضاعف كل شيء ب (x