تبلغ مساحة المثلث A 12 وجانبين أطوال 4 و 8. يشبه المثلث B المثلث A وله جانب طوله 7. ما هي المناطق القصوى والدنيا الممكنة للمثلث B؟

إجابة:

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #

تفسير:

أولا ، يجب عليك العثور على الأطوال الجانبية للمثلث الأقصى للحجم A عندما يكون أطول جانب أكبر من 4 و 8 والحد الأدنى مثلث الحجم ، عندما 8 هو أطول جانب.

لفعل هذا استخدام صيغة هيرون المنطقة: #s = (a + b + c) / 2 # أين # أ ، ب ، و ج # هي الأطوال الجانبية للمثلث:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

سمح #a = 8 ، b = 4 "&" c "أطوال جانبية غير معروفة" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

مربع كلا الجانبين:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

اسحب 1/2 من كل عامل:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

تبسيط:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

*استبدل #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

استخدم استكمال المربع:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

الجذر التربيعي كلا الجانبين:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 قدم مربع (7) #

استبدل # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

بما أن الأطوال الجانبية للمثلث إيجابية فإننا نحتاج إلى تجاهل الإجابات السلبية:

أطوال الجانب الأدنى والأقصى للمثلث A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~~ 6.137 ، 11.06 #

منذ تتناسب مساحة المثلثات مع مربع الأطوال الجانبية يمكننا إيجاد الحد الأقصى والحد الأدنى لمساحات المثلث B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2 ؛ "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36.75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2 ؛ "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9.1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11.06) ^ 2؛ "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~~ 4.8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2؛ "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #