كيف تثبت arcsin x + arccos x = pi / 2؟

إجابة:

كما هو مبين

تفسير:

سمح

# arcsinx = ثيتا #

ثم

# س = sintheta = كوس (بي / 2-ثيتا) #

# => arccosx = بي / 2-ثيتا = بي / 2-arcsinx #

# => arccosx = بي / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = بي / 2 #

إجابة:

يكون البيان صحيح ا عندما تشير الدوال المثلثية العكسية إلى القيم الرئيسية ، ولكن هذا يتطلب اهتمام ا أكثر حذر ا لإظهاره مما توفره الإجابة الأخرى.

عندما تعتبر الدوال المثلثية العكسية متعددة القيم ، نحصل على نتيجة أكثر دقة ، على سبيل المثال

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # لكن #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

لدينا لطرح للحصول عليها # بي / 2 #.

تفسير:

هذا واحد اصعب مما يبدو. الجواب الآخر لا يدفع لها الاحترام المناسب.

اصطلاح عام هو استخدام الرسالة الصغيرة #arccos (خ) # و #arcsin (خ) # كتعبيرات متعددة القيم ، يشير كل منها على التوالي إلى كل القيم التي يكون جيب تمامها أو جيبها له قيمة معينة # # س.

إن معنى مجموع هذه العناصر هو في الحقيقة كل مجموعة ممكنة ، وهذه لن تعطيها دائم ا # بي / 2. # أنها لن تعطي دائما واحدة من زوايا coterminal # pi / 2 + 2pi k quad # عدد صحيح #ك#، كما سنظهر الآن.

دعونا نرى كيف يعمل مع وظائف علم حساب المثلثات معكوس متعددة القيم أولا. تذكر بشكل عام # cos x = cos a # لديه حلول # x = pm a + 2pi k quad # عدد صحيح #ك#.

# c = قوس قزح x # يعني حقا

#x = cos c #

#s = arcsin x # يعني حقا

#x = sin s #

#y = s + c #

# # س يلعب دور المعلمة الحقيقية التي تجتاح من #-1# إلى #1#. نريد حل ل # ذ #، ابحث عن كل القيم الممكنة لل # ذ # التي لديها #x، s # و # ج # الذي يجعل هذه المعادلات في وقت واحد #x = cos c ، x = sin s ، y = s + c # صحيح.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

نحن نستخدم الحل العام أعلاه حول المساواة في جيب التمام.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # عدد صحيح #ك#

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

لذلك نحصل على النتيجة الأكثر غموضا ،

#arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(يجوز قلب الإشارة #ك.#)

لنركز الآن على القيم الرئيسية التي أكتبها بأحرف كبيرة:

تبين #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

البيان صحيح بالفعل بالنسبة للقيم الرئيسية المحددة بالطريقة المعتادة.

يتم تعريف المبلغ فقط (حتى نتعمق في أعداد معقدة) لـ # -1 لو س لو 1 # لأن الجيوب وجيب التمام صحيحان في هذا النطاق.

سوف ننظر إلى كل جانب من المكافئ

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {؟} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) #

سوف نأخذ جيب التمام لكلا الجانبين.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) = sin (text {Arc} text {sin} (x)) = x #

لذلك دون القلق بشأن العلامات أو القيم الأساسية ، نحن متأكدون

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) #

الجزء الصعب ، وهو الجزء الذي يستحق الاحترام ، هو الخطوة التالية:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # لست متأكدا بعد

علينا أن نخطو بعناية. دعنا نأخذ الإيجابية والسلبية # # س بشكل منفصل.

أول # 0 le x le 1 #. هذا يعني أن القيم الرئيسية لكلتا الدوال المثلثية العكسية موجودة في الربع الأول ، بين #0# و # بي / 2. # مقيدة في الربع الأول ، جيب التمام المتساوي يعني زوايا متساوية ، لذلك نستنتج #x ge 0 ، #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

الآن # -1 جنيه × <0. # القيمة الرئيسية للعلامة العكسية هي في الربع الرابع ، و لـ #x <0 # عادة ما نحدد القيمة الرئيسية في النطاق

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - نص {Arc} نص {sin} (x) le pi #

القيمة الرئيسية لجيب التمام السلبي العكسي هي الربع الثاني ،

# pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

إذن لدينا زاويتان في الربع الثاني تكون جيب التمام متساوية ، ويمكننا استنتاج أن الزوايا متساوية. إلى عن على #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

لذلك في كلتا الحالتين ،

# text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #