كيف تجد المضاد لـ (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))؟

كيف تجد المضاد لـ (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))؟
Anonim

إجابة:

#arctan (e ^ x) + C #

تفسير:

# "الكتابة" e ^ x "dx كـ" d (e ^ x) "، ثم نحصل على" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "مع الاستبدال y =" e ^ x "، نحصل على" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "التي تساوي" #

#arctan (y) + C #

# "الآن بديلا مرة أخرى" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

إجابة:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

تفسير:

نحن نريد أن نجد # الأسواق العالمية ضغطها ^ س / (1 + ه ^ (2X)) "د" س = INT1 / (1+ (ه ^ س) ^ 2) ه ^ س "د" س #

الآن دع # ش = ه ^ س # وبذلك يأخذ الفرق على الجانبين يعطي # دو = ه ^ xdx #. الآن نحن استبدال كل من هذه المعادلات في لا يتجزأ من الحصول عليها

# INT1 / (1 + ش ^ 2) "د" ش #

هذا هو جزء لا يتجزأ القياسية التي تقيم ل # # arctanu. استبدال العودة ل # # س نحصل على الجواب النهائي:

#arctan e ^ x + "c" #

إجابة:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

تفسير:

أولا ، لقد تركنا # ش = 1 + ه ^ (2X) #. للتكامل فيما يتعلق # ش #، نقسم على مشتق # ش #، الذي # 2E ^ (2X) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

للتكامل فيما يتعلق # ش #، نحن بحاجة إلى كل شيء معبر عنه من حيث # ش #، لذلك نحن بحاجة إلى حل لماذا # ه ^ س # هو من حيث # ش #:

# ش = 1 + ه ^ (2X) #

# ه ^ (2X) = ش-1 #

# 2X = قانون الجنسية (ش-1) #

# س = 1 / 2LN (ش-1) #

# س = قانون الجنسية ((ش-1) ^ (1/2)) = من قانون الجنسية (الجذر التربيعي (ش-1)) #

# ه ^ س = ه ^ (قانون الجنسية (الجذر التربيعي (ش-1))) = الجذر التربيعي (ش-1) #

الآن يمكننا توصيل هذا مرة أخرى إلى جزء لا يتجزأ:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

التالي سوف نقدم استبدال مع # ض = الجذر التربيعي (ش-1) #. المشتق هو:

# (DZ) / (دو) = 1 / (2sqrt (ش-1) #

لذلك نقسمها على التكامل مع الاحترام # ض # (تذكر أن القسمة هي نفس الضرب بالمقلوب):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

الآن ، لدينا مرة أخرى المتغير الخاطئ ، لذلك نحن بحاجة إلى حل من أجل ماذا # ش # يساوي من حيث # ض #:

# ض = الجذر التربيعي (ش-1) #

# ش-1 = ض ^ 2 #

# ش = ض ^ 2 + 1 #

هذا يعطي:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

هذا هو مشتق مشترك من # تان ^ -1 (ض) #، لذلك نحن نحصل على:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

التراجع عن جميع البدائل ، نحصل على:

# تان ^ -1 (ض) + C = تان ^ -1 (الجذر التربيعي (ش-1)) + C = #

# = تان ^ -1 (الجذر التربيعي (1 + ه ^ (2X) -1)) + C = تان ^ -1 ((ه ^ (2X)) ^ (1/2)) + C = #

# = تان ^ -1 (ه ^ س) + C #