لنفترض أن هناك أساس ا لعدد معين من الأبعاد للفضاء الفرعي W في RR ^ 4 وعدد معين من الأبعاد. لماذا هو عدد الأبعاد 2؟

إجابة:

4 أبعاد ناقص 2 قيود = 2 أبعاد

تفسير:

الإحداثيات الثالثة والرابعة هي الإحداثيات المستقلة الوحيدة. يمكن التعبير عن الأولين من حيث الأخيرتين.

إجابة:

يتم تحديد البعد الخاص بالمساحة الفرعية بواسطة قواعدها ، وليس بعد البعد الخاص بأي مساحة متجه ، وهي مساحة فرعية لـ.

تفسير:

يتم تعريف البعد الخاص بمساحة المتجه بعدد المتجهات في أساس ذلك الفضاء (بالنسبة للمسافات ذات الأبعاد اللانهائية ، يتم تعريفها بواسطة أصل الأساس). لاحظ أن هذا التعريف ثابت ، حيث يمكننا إثبات أن أي أساس لمساحة متجه سيكون له نفس عدد المتجهات مثل أي أساس آخر.

في حالة ما اذا # RR ^ ن # نحن نعرف ذلك #dim (RR ^ n) = n # مثل

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

هو أساس ل # RR ^ ن # ولديه # ن # عناصر.

في حالة ما اذا #W = s ، في RR # يمكننا كتابة أي عنصر في # # W مثل #svec (u) + tvec (v) # أين #vec (u) = (4،1،0،1) # و #vec (v) = (-1،0،1،0) #.

من هذا ، لدينا ذلك # {vec (u) ، vec (v)} # هو مجموعة تمتد ل # # W. لان #vec (ش) # و #vec (ت) # من الواضح أنها ليست مضاعفات العددية لبعضها البعض (لاحظ مواقف #0#ق) ، وهذا يعني ذلك # {vec (u) ، vec (v)} # هي مجموعة خطية مستقلة تمتد ل # # Wهذا هو الأساس. لان # # W لديه أساس مع #2# العناصر ، ونحن نقول ذلك #dim (W) = 2 #.

لاحظ أن ب عد مسافة المتجه لا يعتمد على ما إذا كانت المتجهات قد توجد في مسافات متجه أخرى ذات أبعاد أكبر. العلاقة الوحيدة هي أنه إذا # # W هو الفضاء الفرعي لل #الخامس# ثم #dim (W) <= خافت (V) # و #dim (W) = خافت (V) <=> W = V #