ما هي مساحة مثلث متساوي الأضلاع الذي تقع رؤوسه على دائرة نصف قطرها 2؟

إجابة:

# 3 * الجذر التربيعي (3) ~ = 5.196 #

تفسير:

الرجوع إلى الشكل أدناه

يمثل الشكل مثلث متساوي الأضلاع المدرج في دائرة ، حيث # ق # لتقف على جوانب المثلث ، # ح # لتقف على ارتفاع المثلث ، و # R # لتقف على دائرة نصف قطرها الدائرة.

يمكننا أن نرى أن المثلثات ABE و ACE و BCE متطابقتان ، ولهذا يمكننا قول هذه الزاوية #E hat C D = (A hat C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

يمكننا أن نرى في #triangle_ (CDE) # أن

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = إلغاء (2) * R * sqrt (3) / إلغاء (2) # => # ق = الجذر التربيعي (3) * R #

في #triangle_ (ACD) # لا يمكننا أن نرى ذلك

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # ح = الجذر التربيعي (3) / 2 * ق = الجذر التربيعي (3) / 2 * الجذر التربيعي (3) * R # => # ح = (3R) / 2 #

من صيغة منطقة المثلث:

# S_triangle = (القاعدة * الارتفاع) / 2 #

نحن نحصل

# S_triangle = (ل * ح) / 2 = (الجذر التربيعي (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * الجذر التربيعي (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * الجذر التربيعي (3) * إلغاء (2 ^ 2)) / إلغاء (4) = 3 * الجذر التربيعي (3) #

يبلغ نصف قطر الدائرة الأكبر ضعف طول دائرة نصف قطرها. مساحة الدونت 75 بي. العثور على دائرة نصف قطرها أصغر (الداخلية) الدائرة.؟

أصغر دائرة نصف قطرها 5 اسمحوا r = نصف قطر الدائرة الداخلية. ثم نصف قطر الدائرة الأكبر هو 2r من المرجع نحصل على المعادلة الخاصة بمساحة الحلقة: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) البديل 2r لـ R: A = pi ((2r) ^ 2- r ^ 2) تبسيط: A = pi ((4r ^ 2- r ^ 2) A = 3pir ^ 2 البديل في المنطقة المحددة: 75pi = 3pir ^ 2 قس م كلا الجانبين على 3pi: 25 = r ^ 2 r = 5

يتم رسم ثلاث دوائر من وحدات دائرة نصف قطرها داخل مثلث متساوي الأضلاع من الوحدات الجانبية بحيث تلامس كل دائرة الدوائر الأخرى وجهازي المثلث. ما هي العلاقة بين ص و؟

R / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1) نعلم أن = 2x + 2r مع r / x = tan (30 ^ @) x هي المسافة بين رأس القاع الأيسر وقاعدة الإسقاط العمودي لـ مركز الدائرة السفلية اليسرى. لأنه إذا كانت زاوية مثلث متساوي الأضلاع 60 ^ @ ، فإن المنصف له 30 ^ @ ثم = 2r (1 / tan (30 ^ @) + 1) لذلك r / a = 1 / (2 (sqrt (3) +1)

النظر في 3 دوائر متساوية من دائرة نصف قطرها ص داخل دائرة معينة من دائرة نصف قطرها R لمس كل منهما الآخر ودائرة معينة كما هو مبين في الشكل ، ثم مساحة المنطقة المظللة تساوي؟

يمكننا تكوين تعبير لمنطقة المنطقة المظللة مثل: A_ "shaded" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" حيث A_ "center" هي منطقة المقطع الصغير بين الثلاثة دوائر أصغر. للعثور على مساحة هذا ، يمكننا رسم مثلث من خلال ربط مراكز الدوائر البيضاء الثلاث الأصغر. ونظر ا لأن كل دائرة لها دائرة نصف قطرها r ، فإن طول كل جانب من المثلث هو 2r والمثلث متساوي الأضلاع لذا يكون لزوايا 60 ^ o لكل منهما. يمكننا إذن القول أن زاوية المنطقة الوسطى هي مساحة هذا المثلث مطروح ا منها القطاعات الثلاثة للدائرة. ارتفاع المثلث هو ببساطة sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ ، وبالتالي فإن مساحة المثلث 1/2 * base * height = 1/2 * 2r