دع p يكون مصفوفة غير مفردة 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O تعني المصفوفة الخالية) ، ثم p ^ -1 هي؟

إجابة:

الجواب هو # = - (I + ص + ع ……… ^ (ن 1)) #

تفسير:

نحن نعرف ذلك

# ف ^ -1p = I #

# I + ص + ص ^ 2 + ص ^ 3 ….. ص ^ ن = O #

اضرب كلا الجانبين ب # ف ^ -1 #

# ف ^ -1 * (1 + ص + ص ^ 2 + ص ^ 3 ….. ص ^ ن) = ص ^ -1 * O #

# ف ^ -1 * 1 + ص ^ -1 * ص + ص ^ -1 * ص ^ 2 + …… ص ^ -1 * ص ^ ن = O #

# ف ^ -1 + (ص ^ -1p) + (ص ^ -1 * ص * ع) + ……… (ع ^ -1p * ص ^ (ن 1)) = O #

# ف ^ -1 + (I) + (I * ع) + ……… (I * ص ^ (ن 1)) = O #

وبالتالي،

# ف ^ -1 = - (I + ص + ع ……… ^ (ن 1)) #

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # لكن # ف # بواسطة الفرضية غير المفرد ثم موجود # ف ^ -1 # وبالتالي

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

وأخيرا

# p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

كما يمكن حلها كما

# p ^ -1 = -p (sum_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #