إجابة:
تفسير:
قبل حساب التكامل ، دعنا نسهل التعبير المثلثي باستخدام بعض الخصائص المثلثية التي لدينا:
تطبيق ممتلكات
وبالتالي،
تطبيق اثنين من خصائص
نحن لدينا:
منذ
وبالتالي،
أولا ، استبدل الإجابات المبسطة ، ثم احسب التكامل:
تبين أن cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. أنا مرتبك بعض الشيء إذا جعلت Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) و cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) ، فسوف يتحول إلى قيمة سالبة مثل cos (180 ° -theta) = - costheta في الربع الثاني. كيف يمكنني إثبات السؤال؟
من فضلك، انظر بالأسفل. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS
كيف يمكنني العثور على int int (x * cos (5x)) dx؟
سنضع في اعتبارنا صيغة التكامل بالأجزاء ، وهي: int u dv = uv - int v du للعثور على هذا التكامل بنجاح ، سنسمح لك = x ، و dv = cos 5x dx. لذلك ، du = dx و v = 1/5 sin 5x. (يمكن العثور على v باستخدام بدائل u السريعة). السبب في أنني اخترت x لقيمة u لأنني أعلم أنه في وقت لاحق سأنتهي بالتكامل v مضروبة في مشتق u. نظر ا لأن مشتق u هو 1 فقط ، وبما أن دمج دالة علم حساب المثلثات في حد ذاته لا يجعلها أكثر تعقيد ا ، فقد أزلنا x فعلي ا من integrand وعلينا فقط القلق بشأن الجيب الآن. لذا ، عند توصيل صيغة IBP ، نحصل على: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx إن سحب 1/5 من integrand يعطينا: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int
كيف يمكنني العثور على int int (x * e ^ -x) dx؟
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Process: int x e ^ (- x) dx =؟ سيتطلب هذا التكامل التكامل بالأجزاء. ضع في اعتبارك الصيغة: int u dv = uv - int v du سنسمح لك = x و dv = e ^ (- x) dx. لذلك ، دو = دي إكس. العثور على v سيتطلب استبدال u ؛ سأستخدم حرف q بدلا من u لأننا نستخدم u بالفعل في صيغة التكامل بالأجزاء. v = int e ^ (- x) dx let q = -x. وبالتالي ، dq = -dx سنقوم بإعادة كتابة التكامل ، مع إضافة سلبيين لاستيعاب dq: v = -int -e ^ (- x) dx مكتوب من حيث q: v = -int e ^ (q) dq لذلك ، v = -e ^ (q) استبدالنا بـ q يعطينا: v = -e ^ (- x) الآن ، إذا نظرنا إلى الوراء في صيغة IBP ، لدينا كل ما نحتاجه لبدء الاستبدال: int