X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (عاملي)؟

إجابة:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (س ^ 2- (ألفا + شريط (ألفا)) س + 2) (س ^ 2- (omegaalpha + أوميغا ^ 2bar (ألفا)) س + 2) (س ^ 2- (أوميغا ^ 2alpha + omegabar (ألفا)) س + 2) #

كما هو موضح أدناه…

تفسير:

تحذير:

قد تكون هذه الإجابة أكثر تقدم ا مما يتوقع منك معرفته.

ملاحظات

من الممكن تبسيط وإيجاد:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# أوميغالبا + أوميغا ^ 2bar (ألفا) = 1/2 (1 قدم مربع (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

لكن ليس من الواضح بعد (أفضل طريقة للقيام بذلك).

إجابة:

# س ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) س + 2) #

تفسير:

إليك طريقة أكثر بساطة …

معطى:

# س ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

ابحث عن عامل الشكل:

# س ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = س ^ 6 + (ألفا + بيتا + جاما) س ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) س ^ 4 + (2 (ألفا + بيتا + جاما) + alphabetagamma) س ^ 3 + (2 (alphabeta + + betagamma gammaalpha) +12) س ^ 2 + 4 (ألفا + بيتا + جاما) س + 8 #

معادلة المعادلات نجد:

# {(alpha + beta + gamma = 0) ، (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6) ، (alphabetagamma = -5):} #

وبالتالي #alpha ، beta ، gamma # هي أصفار المكعب:

# (خ-ألفا) (خ-بيتا) (خ-غاما) #

# = س ^ 3- (ألفا + بيتا + جاما) س ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) X-alphabetagamma #

# = س ^ 3-6x + 5 #

لاحظ أن مجموع معاملات هذا المكعب هو #0#. هذا هو #1-6+5 = 0#.

بالتالي # س = 1 # هو صفر و # (خ-1) # عامل:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

يمكن العثور على أصفار التربيعية المتبقية باستخدام الصيغة التربيعية على النحو التالي:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

وبالتالي # {alpha، beta، gamma} = {1، -1 / 2 + sqrt (21) / 2، -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

وبالتالي:

# س ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) س + 2) #

علاوة

هل يمكننا تعميم الاشتقاق أعلاه؟

# س ^ 6 + بكسل ^ 3 + س ^ 3 #

# = (س ^ 2 + alphax + س) (س ^ 2 + betax + س) (س ^ 2 + gammax + ف) #

# = س ^ 6 + (ألفا + بيتا + جاما) س ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3Q) س ^ 4 + (ف (ألفا + بيتا + جاما) + alphabetagamma) س ^ 3 + س (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3Q) س ^ 2 + س ^ 2 (ألفا + بيتا + جاما) س + س ^ 3 #

معادلة المعادلات:

# {(alpha + beta + gamma = 0) ، (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q) ، (alphabetagamma = p):} #

بالتالي #alpha ، beta ، gamma # هي أصفار:

# س ^ 3-3qx ف #

لذلك إذا استطعنا إيجاد ثلاثة أصفار حقيقية لهذا المكعب ، فعندئذ يكون لدينا عامل السيكتيك # س ^ 6 + بكسل ^ 3 + س ^ 3 # إلى ثلاثة من الدرجة الثانية مع المعاملات الحقيقية.