هل التسلسل a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) متقارب أو متباعد؟

إجابة:

# "انظر الشرح" #

تفسير:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n #

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n #

# "لاحظ أنه يمكنك بسهولة تطبيق حد أويلر هنا:" #

#lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 …. #

# => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 …. #

# "وبالتالي فإن التسلسل ينمو كبيرة جدا ولكن ليست كبيرة بلا حدود ، لذلك"

# "يتقارب." #