العثور على و "حساب" لا يتجزأ؟

إجابة:

انظر أدناه

تفسير:

# ه ^ و (خ) + و '(س) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0 ، qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (dy) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y ، qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

باستخدام الرابع:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x إلى 0) y = + oo تعني C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) #

#y = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

ال تبين قليلا

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx-color (red) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# color (red) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1)) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

#implies I - ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

• # int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

#implies I lt ln (e-1) #

إجابة:

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

لم أستطع إثبات عدم المساواة بعد ، لكنني وجدت عدم مساواة أقوى.

تفسير:

سمح #g (x) = e ^ (f (x)) # بحيث ، باستخدام قاعدة السلسلة:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

لاحظ الآن أن:

#f (x) = ln (g (x)) #, وبالتالي:

#f '(x) = (g' (x)) / (g (x)) #

استبدال في المعادلة الأصلية لدينا:

#g (x) + (g '(x)) / (g (x)) +1 = 0 #

وكما بحكم التعريف #g (x)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

وهو قابل للفصل:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

تحليل العضو الأول باستخدام الكسور الجزئية:

# 1 / (g (g + 1)) = 1 / g -1 / (g + 1) #

وبالتالي:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#ln g - ln (g + 1) = -x + c #

باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

#ln (g / (g + 1)) = - x + c #

# g / (g + 1) = e ^ (c-x) #

حل الآن ل # ز #:

#g = e ^ (c-x) (g + 1) #

#g (1-e ^ (c-x)) = e ^ (c-x) #

وأخيرا:

#g (x) = e ^ (c-x) / (1-e ^ (c-x)) #

الآن:

#f (x) = ln (g (x)) = ln (e ^ (cx) / (1-e ^ (cx)))) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x) #

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

يمكننا تحديد # ج # من الشرط:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

مثل:

#lim_ (x-> 0) c -x -ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

وهو محدود ما لم # ج = 0 #.

ثم:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

النظر الآن لا يتجزأ:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

مثل:

# d / dx (e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

يمكننا أن نرى أنه في فترة التكامل تتناقص الوظيفة بدقة ، وبالتالي تكون قيمتها القصوى # M # يحدث ل # س = LN2 #:

#M = (e ^ -ln2 / (1-e ^ -ln2)) (ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #

ثم:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

إجابة:

هنا هو آخر واحد

تفسير:

#ا)#

# ه ^ و (خ) + و '(س) + 1 = 0 # # <=> ^ (* ه ^ (- و (خ)) #

# 1 + F '(س) ه ^ (- و (خ)) + ه ^ (- و (خ)) = 0 # #<=>#

# -f "(خ) ه ^ (- و (خ)) = 1 + ه ^ (- و (خ)) # #<=>#

# (ه ^ (- و (خ))) = 1 + ه ^ (- و (خ)) # #<=>#

# (1 + ه ^ (- و (خ))) = 1 + ه ^ (- و (خ)) ## <=> ^ (x> 0) #

اذن هناك # ج ##في## # RR, # 1 + ه ^ (- و (خ)) = م ^ س #

• #lim_ (xto0) ه ^ (- و (خ)) = _ (xto0، ذ -> - س س) ^ (- و (س) = ش) lim_ (المعارضة الطاجيكية الموحدة س س) ه ^ ش = 0 #

و #lim_ (xto0) (- ه ^ (- و (خ)) + 1) = lim_ (xto0) م ^ س # #<=>#

# ج = 1 #

وبالتالي،

# 1 + ه ^ (- و (خ)) = ه ^ س # #<=>#

#E ^ (- و (خ)) = ه ^ س 1 # #<=>#

# -f (س) = من قانون الجنسية (ه ^ س-1) # #<=>#

# F (س) = - قانون الجنسية (ه ^ س-1) # #COLOR (أبيض) (أأ) #, # ضعف> 0 #

#ب)#

# int_ln2 ^ 1 (ه ^ و (خ) (خ + 1)) DX <##ln (ه-1) #

# F (س) = - قانون الجنسية (ه ^ س-1) #,# ضعف> 0 #

# F '(س) = - ه ^ س / (ه ^ س-1) #

# -f '(س) = ه ^ س / (ه ^ س-1) => (س + 1) / (ه ^ س-1) # بدون ال ''#=#''

• # int_ln2 ^ 1F '(خ) DX> int_ln2 ^ 1 (س + 1) / (ه ^ س-1) DX # #<=>#

# int_ln2 ^ 1 (س + 1) / (ه ^ س-1) DX <## - و (خ) _ LN2 ^ 1 = -f (1) + و (0) = من قانون الجنسية (ه-1) #

ومع ذلك لدينا

# ه ^ و (خ) (خ + 1) = ه ^ (- قانون الجنسية (ه ^ س-1)) (س + 1) = (س + 1) / (ه ^ س-1) #

و حينئذ ، # int_ln2 ^ 1 (س + 1) ه ^ و (خ) DX <##ln (ه-1) #