ما هي معادلة الخط الطبيعي للمنحنى القطبي f (theta) = - 5theta- sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) في theta = بي؟

إجابة:

الخط هو #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

تفسير:

يتم اشتقاق هذه المعادلة من خلال عملية طويلة إلى حد ما. سأقوم أولا بتحديد الخطوات التي سيتبعها الاشتقاق ثم القيام بهذه الخطوات.

تعطى لنا وظيفة في الإحداثيات القطبية ، # F (ثيتا) #. يمكننا أن نأخذ مشتق ، # F '(ثيتا) #، ولكن من أجل إيجاد خط في الإحداثيات الديكارتية ، سنحتاج # دى / DX #.

نستطيع إيجاد # دى / DX # باستخدام المعادلة التالية:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

ثم سنقوم بتوصيل هذا المنحدر في شكل خط الديكارتي القياسي:

#y = mx + b #

وأدخل الإحداثيات القطبية المحولة الديكارتية من نقطة اهتمامنا:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

بعض الأشياء التي يجب أن تكون واضحة على الفور وسوف توفر لنا الوقت أسفل الخط. نحن نأخذ خط الظل إلى هذه النقطة #theta = pi #. هذا يعني ذاك # سين (ثيتا) = 0 # وبالتالي…

1) معادلة لدينا ل # دى / DX # سيكون في الواقع:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) معادلاتنا للإحداثيات الديكارتية من وجهة نظرنا سوف تصبح:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

بدأنا في حل المشكلة فعلي ا ، إذن ، أول ما نجده في العمل هو إيجاد # F '(ثيتا) #. الأمر ليس صعب ا ، حيث يتم تطبيق ثلاثة مشتقات سهلة فقط مع قاعدة السلسلة على اثنين:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 ثانية ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

الآن نريد أن نعرف # F (بي) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

و # F '(بي) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 ثانية ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

مع وجود هذه الأشياء في متناول اليد ، نحن على استعداد لتحديد منحدرنا:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

يمكننا سد هذا في # م # في #y = mx + b #. أذكر أننا حددنا سابقا ذلك # ص = 0 # و #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

يمكننا الجمع بين لدينا المحددة سابقا # م # مع شركائنا المصممة حديثا #ب# لإعطاء المعادلة للخط:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #