كيف يمكنك العثور على منطقة متوازي الاضلاع مع القمم؟

إجابة:

متوازي الاضلاع #ا ب ت ث# المنطقة هي

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

تفسير:

لنفترض أن متوازي الاضلاع لدينا #ا ب ت ث# يتم تعريفه بواسطة إحداثيات القمم الأربعة - # x_A، y_A #, # x_B، y_B #, # x_C، y_C #, # x_D، y_D #.

لتحديد مساحة متوازي الاضلاع لدينا ، نحتاج إلى طول قاعدته # | AB | # والارتفاع # | DH | # من قمة الرأس #د# أن نشير # H # على جنب # # AB (هذا هو، #DH_ | _AB #).

بادئ ذي بدء ، لتبسيط المهمة ، فلننقلها إلى موضع عند قمة الرأس #ا# يتزامن مع أصل الإحداثيات. ستكون المنطقة هي نفسها ، لكن الحسابات ستكون أسهل.

لذلك ، سوف نقوم بتحويل الإحداثيات التالي:

# U = س-x_A #

# V = ذ-y_A #

ثم ال (# U، V #) إحداثيات جميع القمم ستكون:

# أ U_A = 0، V_B = 0

# ب U_B = x_B-x_A، V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A، V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A، V_D = y_D-y_A #

يتم تعريف متوازي الاضلاع لدينا الآن بواسطة متجهين:

# ص = (U_B، V_B) # و # س = (U_D، V_D) #

تحديد طول القاعدة # # AB كما طول ناقل # ف #:

# | AB | = الجذر التربيعي (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

طول الارتفاع # | DH | # يمكن التعبير عنها # | AD | * الخطيئة (/ _ BAD) #.

الطول #ميلادي# هو طول الناقل # ف #:

# | AD | = الجذر التربيعي (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

زاوية #/_سيئة# يمكن تحديده باستخدام تعبيرين للمنتج القياسي (نقطة) من المتجهات # ف # و # ف #:

# (ص * ف) = U_B * U_D + V_B * V_D = | ع | * | ف | * كوس (/ _ BAD) #

من أي

# كوس ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# الخطيئة ^ 2 (/ _ BAD) = 1-جتا ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

الآن نحن نعرف جميع المكونات لحساب المنطقة:

قاعدة # | AB | = الجذر التربيعي (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

ارتفاع # | DH | = الجذر التربيعي (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

المنطقة هي منتجاتها:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

من حيث الإحداثيات الأصلية ، يبدو كما يلي:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

إجابة:

مناقشة أخرى

تفسير:

دليل هندسي

النظر في الرقم

يمكننا بسهولة وضع الصيغة لحساب مساحة متوازي الاضلاع ABCD ، عندما تعرف أي ثلاثة رؤوس (قل A ، B ، D).

منذ BD يشطر متوازي الاضلاع إلى اثنين من مثلث متطابق.

مجال متوازي الاضلاع ABCD

= 2 مساحة المثلث ABD

= 2 مساحة شبه منحرف BAPQ + مساحة مصيدة BQRD - مساحة مصيدة DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-02/01 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + إلغاء (Y_BX_B) -إلغاء (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + إلغاء (Y_DX_D) -إلغاء (Y_BX_B) -Y_AX_D- إلغاء (Y_DX_D) + إلغاء (Y_DX_D) + إلغاء (Y_AX_A)

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

هذه الصيغة سوف تعطي مساحة متوازي الاضلاع.

دليل النظر ناقلات

ويمكن أيضا أن تدرس النظر #vec (AB) # و# vec (م) #

الآن

متجه الموضع من النقطة A w.r ، t الأصل O ، #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

متجه الموضع من النقطة B w.r ، t الأصل O ، #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

متجه الموضع من النقطة D w.r ، t الأصل O ، #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

الآن

مجال Parallelogram ABCD

# = الأساس (م) * الارتفاع (BE) = م * ح #

# = AD * ABsintheta = | مركزنا (AD) Xvec (AB) | #

مرة أخرى

#vec (AD) = مركزنا (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) هاتي + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = مركزنا (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) هاتي + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

المنطقة = # | مركزنا (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + إلغاء (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B- إلغاء (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

وبالتالي لدينا نفس الصيغة