كيف يمكنك تقييم التكامل المعرف بالثانية ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) من [0، pi / 4]؟

إجابة:

# بي / 4 #

تفسير:

لاحظ أنه من هوية فيثاغورس الثانية التي

# 1 + tan ^ 2x = ثانية ^ 2x #

هذا يعني أن الكسر يساوي 1 وهذا يتركنا جزء ا لا يتجزأ من

# int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4 #

إجابة:

# بي / 4 #

تفسير:

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن هذا يلائم شكل قوس الزاوية ، وهو:

# INT1 / (1 + ش ^ 2) = دو ظل الزاوية القوسي (ش) #

هنا ، إذا # ش = tanx # ثم # دو = ثانية ^ 2xdx #، ثم:

# intsec ^ 2X / (1 + تان ^ 2X) DX = INT1 / (1 + ش ^ 2) = دو ظل الزاوية القوسي (ش) = ظل الزاوية القوسي (tanx) = س #

مضيفا الحدود:

# int_0 ^ (بي / 4) ثانية ^ 2X / (1 + تان ^ 2X) DX = س _0 ^ (بي / 4) = بي / 4-0 = بي / 4 #