ما هو المقصود بحد التسلسل اللانهائي؟

حد التسلسل اللانهائي يخبرنا عن سلوكه على المدى الطويل.

إعطاء سلسلة من الأرقام الحقيقية # # a_nإنه الحد #lim_ (n to oo) a_n = lim a_n # يتم تعريفه على أنه القيمة المفردة التي يقترب بها التسلسل (إذا كان يقترب من أي قيمة) ونحن نصنع الفهرس # ن # أكبر. حد التسلسل غير موجود دائم ا. إذا كان الأمر كذلك ، فالتسلسل يقال متقارب ، وإلا يقال أن يكون متشعب.

مثالان بسيطان:

• النظر في التسلسل # 1 / ن #. من السهل أن نرى أنه الحد #0#. في الواقع ، بالنظر إلى أي قيمة إيجابية قريبة من #0#، يمكننا دائما العثور على قيمة كبيرة بما فيه الكفاية ل # ن # مثل ذلك # 1 / ن # أقل من هذه القيمة المحددة ، مما يعني أنه يجب أن يكون الحد أقل أو يساوي الصفر. وأيض ا ، يكون كل مصطلح في التسلسل أكبر من الصفر ، لذلك يجب أن يكون الحد أكبر أو يساوي الصفر. وبالتالي فإنه من #0#.

• خذ التسلسل المستمر #1#. وهذا هو ، لأي قيمة معينة من # ن #، المصطلح # # a_n من التسلسل يساوي #1#. من الواضح أنه مهما كبر حجمنا # ن # قيمة التسلسل هي #1#. لذلك هو الحد #1#.

للحصول على تعريف أكثر صرامة ، دعونا # # a_n يكون سلسلة من الأرقام الحقيقية (وهذا هو ، # forall n في NN: a_n في RR #) و #epsilon في RR #. ثم الرقم #ا# يقال أن يكون حد من التسلسل # # a_n إذا وفقط إذا:

#forall epsilon> 0 موجود N في NN: n> N => | a_n - a | <إبسيلون #

هذا التعريف يعادل التعريف غير الرسمي الوارد أعلاه ، باستثناء أننا لسنا بحاجة إلى فرض الوحدة على الحد الأقصى (يمكن استنتاجه).