الدائرة A لها مركز في (6 ، 5) ومساحة 6 pi. الدائرة B لها مركز في (12 ، 7) ومساحة 48 pi. هل تتداخل الدوائر؟

إجابة:

منذ

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # و

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

يمكننا أن نجعل مثلث ا حقيقي ا ذو جوانب مربعة 48 و 6 و 40 ، بحيث تتقاطع هذه الدوائر.

تفسير:

لماذا لا مبرر له # بي #?

المنطقة هي #A = pi r ^ 2 # وبالتالي # ص ^ 2 = A / بي. # لذلك الدائرة الأولى لديها دائرة نصف قطرها # r_1 = الجذر التربيعي {6} # والثانية # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

المراكز هي #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # بعيدا، بمعزل، على حد.

حتى تتداخل الدوائر إذا #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

هذا قبيح للغاية لدرجة أنك ستغفر للوصول إلى الآلة الحاسبة. لكنها في الحقيقة ليست ضرورية. دعنا نلتف وننظر كيف يتم ذلك باستخدام علم المثلثات الرشيد. هناك ما يهمنا فقط مع أطوال المربعة ، ودعا quadrances.

دعنا نقول أننا نريد اختبار إذا ثلاثة أرباع # A، B، C # هي الأرباع بين ثلاث نقاط متداخلة ، أي #sqrt {A} = الجذر التربيعي {B} + الجذر التربيعي {C} # أو #sqrt {B} = الجذر التربيعي {A} + الجذر التربيعي {C}، # أو #sqrt {C} = الجذر التربيعي {A} + الجذر التربيعي {B} #. سنكتبها على النحو التالي

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

تربيع،

#C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

التربيع مرة أخرى ،

# (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

اتضح

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

هو التمايز للمثلثات. أظهرنا فقط إذا #mathcal {A} = 0 # هذا يعني أن لدينا تنكس المثلث ، شكلت من ثلاث نقاط الخطية. إذا #mathcal {A}> 0 # ثم لدينا مثلث حقيقي ، كل جانب أقل من مجموع اثنين آخرين. إذا #mathcal {A} <0 # ليس لدينا جوانب ترضي عدم المساواة في المثلث ، وأحيان ا نسميها مثلث وهمي.

دعنا نعود إلى سؤالنا مسلحين بمثلثنا الجديد المميز #mathcal {A} #. إذا تقاطعت الدوائر ، فبإمكاننا عمل مثلث للمركزين وتقاطع ، بحيث يكون للأطراف أطوال # # r_1, # # r_2، والمسافة بين المراكز #(6,5)# و #(12,7)#. نحن لدينا

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # لذلك لدينا مثلث حقيقي ، أي دوائر متداخلة.

أوه نعم ، لأي مثلث #mathcal {A} = 16 (text {area}) ^ 2. #

تحقق: ألفا