إثبات sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi؟

إجابة:

في التفسير

تفسير:

في طائرة الإحداثيات العادية ، لدينا إحداثيات مثل (1،2) و (3،4) وأشياء من هذا القبيل. يمكننا إعادة التعبير عن هذه الإحداثيات n حيث أنصاف الأقطار والزوايا. لذلك إذا كانت لدينا النقطة (أ ، ب) فهذا يعني أننا نذهب وحدات إلى اليمين ، وحدات ب صعودا و #sqrt (أ ^ 2 + ب ^ 2) # مثل المسافة بين الأصل والنقطة (أ ، ب). سوف اتصل #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

اذا لدينا # إعادة ^ ظل الزاوية القوسي (ب / أ) #

الآن لإنهاء هذا الدليل ، دعونا نتذكر صيغة.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

وظيفة قوس تان تعطيني زاوية وهي أيضا ثيتا.

لذلك لدينا المعادلة التالية:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

الآن يتيح رسم مثلث الصحيح.

يخبرني أركان (ب / أ) أن ب هو الجانب المعاكس وهو الجانب المجاور. لذلك إذا كنت أريد أن يكون كوسان الأركتان (b / a) ، فإننا نستخدم نظرية فيثاغورس للعثور على الوتر. ووتر #sqrt (أ ^ 2 + ب ^ 2) #. لذا فإن cos (arctan (b / a)) = المتاخمة للوتر = # ل/ الجذر التربيعي (أ ^ 2 + ب ^ 2) #.

أفضل جزء في هذا هو حقيقة أن هذا المبدأ نفسه ينطبق على الجيب. لذلك الخطيئة (arctan (b / a)) = عكس over hypotenuse = # ب / الجذر التربيعي (أ ^ 2 + ب ^ 2) #.

حتى الآن يمكننا إعادة التعبير عن جوابنا كما يلي: # R * ((أ / الجذر التربيعي (أ ^ 2 + ب ^ 2)) + (ثنائية / الجذر التربيعي (أ ^ 2 + ب ^ 2))) #.

لكن تذكر #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # حتى الآن لدينا: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. r تلغي ، ويتبقى لك ما يلي: # على + ثنائي #

وبالتالي، # (إعادة ^ ((ظل الزاوية القوسي (ب / أ)))) = أ + ثنائي #