ما هي المساحة القصوى للمستطيل الذي يبلغ محيطه 116 متر ا؟

إجابة:

المنطقة، #A = 841 "m" ^ 2 #

تفسير:

دع L = الطول

دع W = العرض

محيط، #P = 2L + 2W #

معطى: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

حل لـ W من حيث L:

#W = 58 "m" - L "1" #

المنطقة، #A = LW "2" #

استبدل الجانب الأيمن من المعادلة 1 لـ W في المعادلة 2:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

للحصول على قيمة L التي تزيد المنطقة إلى الحد الأقصى ، قم بحساب مشتقها الأول فيما يتعلق L ، اضبطه على 0 ، وحل لـ L:

المشتق الأول:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

قم بتعيينه يساوي 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

استخدم المعادلة 1 للعثور على قيمة W:

#W = 58 "م" - 29 "م" #

#W = 29 "م" #

هذا يدل على أن المستطيل الذي ينتج الحد الأقصى للمساحة هو مربع. المنطقة هي:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

إجابة:

# 841m ^ 2 #.

تفسير:

سوف نحل هذه المشكلة باستخدام الطرق الجبرية. ك

الحل الثاني ، سوف نحلها باستخدام حساب التفاضل والتكامل

سمح #l و w # يكون طول وعرض المستطيل ، resp.

ثم ، منطقة المستطيل# = ش،. #

ثم ، بما يعطى ، # 2 (l + w) = 116 ، أو (l + w) / 2 = 29 #.

هنا ، نستخدم ما يلي عدم المساواة AGH من الأرقام الحقيقية.:

إذا A و G و H هي الوسائل الحسابية والهندسية والتوافقي

من # a، b في RR ^ + uu {0} "resp.،" A> = G> = H. #

# "هنا ،" A = (a + b) / 2 ، G = sqrt (ab) ، & ، H = (2ab) / (a + b). #

بالتالي، # (l + w) / 2> = sqrt (lw) ، أو ، ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

هذا يعني ذاك، # "المنطقة =" lb <= (29) ^ 2 #

وبالتالي ، فإن أقصى مساحة المستطيل# = 841m ^ 2 #.