ما هو توسع تايلور في e ^ (- 2x) في x = 0؟

إجابة:

#E ^ (- 2X) = sum_ (ن = 0) ^ س س (-2) ^ ن / ن (!) س ^ ن = 1-2x + 2X ^ 2-4 / 3X ^ 3 + 2 / 3X ^ 4 … #

تفسير:

حالة سلسلة تايلور توسعت حولها #0# يسمى سلسلة ماكلورين. الصيغة العامة لسلسلة ماكلورين هي:

# F (س) = sum_ (ن = 0) ^ OOF ^ ن (0) / (ن!) س ^ ن #

للعمل على سلسلة لوظائفنا ، يمكننا أن نبدأ مع وظيفة ل # ه ^ س # ثم استخدم ذلك لمعرفة صيغة لـ #E ^ (- 2X) #.

من أجل بناء سلسلة ماكلورين ، نحتاج إلى معرفة المشتق التاسع من # ه ^ س #. إذا أخذنا بعض المشتقات ، يمكننا أن نرى نمط ا سريع ا:

# F (س) = ه ^ س #

# F '(س) = ه ^ س #

# F '(س) = ه ^ س #

في الواقع ، مشتق ن # ه ^ س # انه ببساطة # ه ^ س #. يمكننا توصيل هذا في صيغة ماكلورين:

# ه ^ س = sum_ (ن = 0) ^ مكتب الرقابة والتقييم ^ 0 / (ن!) س ^ ن = sum_ (ن = 0) ^ oox ^ ن / ن (!) = 1 + س / (1!) + س ^ 2 / (2!) + س ^ 3 / (3!) … #

الآن أن لدينا سلسلة تايلور ل # ه ^ س #، يمكننا فقط استبدال جميع # # سمع # # -2x للحصول على سلسلة ل #E ^ (- 2X) #:

#E ^ (- 2X) = sum_ (ن = 0) ^ س س (-2x) ^ ن / ن (!) = sum_ (ن = 0) ^ س س (-2) ^ ن / ن (!) س ^ ن = #

# = 1-2 / (1!) س + 4 / (2!) س ^ 2-8 / (3!) س ^ 3 + 16 / (4!) س ^ 4 = … #

# = 1-2x + 2X ^ 2-4 / 3X ^ 3 + 2 / 3X ^ 4 … #

وهي السلسلة التي كنا نبحث عنها.