كيف يمكنك العثور على الدرجة الثالثة تايلور متعددة الحدود ل f (x) = ln x ، تتمحور عند a = 2؟

كيف يمكنك العثور على الدرجة الثالثة تايلور متعددة الحدود ل f (x) = ln x ، تتمحور عند a = 2؟
Anonim

إجابة:

#ln (2) +1/2 (س 2) -1/8 (خ-2) ^ 2 + 24/01 (خ-2) ^ 3 #.

تفسير:

الشكل العام للتوسع تايلور تركزت في #ا# من وظيفة تحليلية #F# هو # F (س) = sum_ {ن = 0} ^ ^ OOF ((ن)) (أ) / (ن!) (س-أ) ^ ن #. هنا # F ^ ((ن)) # هو مشتق ن #F#.

الدرجة الثالثة تايلور كثير الحدود هي كثير الحدود تتكون من الأربعة الأولى (# ن # تتراوح من #0# إلى #3#) شروط التوسع تايلور الكامل.

لذلك هذا كثير الحدود هو # F (أ) + و '(أ) (س-أ) + (و' '(أ)) / 2 (س-أ) ^ 2 + (و' '' (أ)) / 6 (س-أ) ^ 3 #.

# F (س) = من قانون الجنسية (خ) #، وبالتالي # F '(س) = 1 / س #, # F '(س) = - 1 / س ^ 2 #, # F '' '(س) = 2 / س ^ 3 #. وبالتالي فإن الدرجة الثالثة تايلور متعدد الحدود هي:

#ln (أ) + 1 / أ (س-أ) -1 / (2A ^ 2) (س-أ) ^ 2 + 1 / (3A ^ 3) (س-أ) ^ 3 #.

الآن لدينا # ل= 2 #، لذلك لدينا كثير الحدود:

#ln (2) +1/2 (س 2) -1/8 (خ-2) ^ 2 + 24/01 (خ-2) ^ 3 #.