استنتج رياضيا جذور اللون (أبيض) ("د") ذ = س ^ 3-3x-1 = 0؟

إجابة:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # إلى عن على # ن = 0 ، 1 ، 2 #

تفسير:

معطى:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

استبدال المثلثية

منذ هذا مكعب لديه #3# الأصفار الحقيقية ، طريقة كاردانو ستؤدي إلى تعبيرات تتضمن جذور مكعب غير قابلة للاختزال من أرقام معقدة. طريقة كاردانو ليست خاطئة ، لكنها ليست ودية للغاية ، إلا إذا كانت جذور المكعب لها شكل بسيط.

كبديل في مثل هذه الحالات ، اخترت استخدام بديل المثلثية.

السماح:

#x = k cos theta #

الحيلة هي أن تختار #ك# بحيث يحتوي التعبير الناتج # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

نحن لدينا:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (أبيض) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (أبيض) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (أبيض) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "" # مع # ك = 2 #

#color (أبيض) (0) = 2cos 3theta - 1 #

وبالتالي:

#cos 3 theta = 1/2 #

وبالتالي:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # لأي عدد صحيح # ن #

وبالتالي:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # لأي عدد صحيح # ن #

هذا سيعطي #3# ممكن القيم المتميزة لل #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # إلى عن على # ن = 0 ، 1 ، 2 #.