كيف يمكنك العثور على حجم المادة الصلبة المتولدة عن طريق تدوير المنطقة المحاطة بالمنحنيات y = x ^ (2) -x ، y = 3-x ^ (2) تدور حول y = 4؟

إجابة:

# V = 685 / 32pi # وحدات مكعب

تفسير:

أولا ، ارسم الرسوم البيانية.

# y_1 = س ^ 2-س #

# y_2 = 3 س ^ 2 #

# # س-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # ونحن لدينا ذلك # {(س = 0)، (س = 1):} #

لذلك اعتراض هي #(0,0)# و #(1,0)#

الحصول على قمة الرأس:

# y_1 = س ^ 2-س => y_1 = (س-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (س-1/2) ^ 2 #

قمة الرأس في #(1/2,-1/4)#

كرر السابق:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # ونحن لدينا ذلك # {(س = الجذر التربيعي (3))، (س = -sqrt (3)):} #

لذلك اعتراض هي # (الجذر التربيعي (3)، 0) # و # (- الجذر التربيعي (3)، 0) #

# y_2 = 3 س ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

قمة الرأس في #(0,3)#

نتيجة:

كيفية الحصول على حجم؟ يجب علينا استخدام طريقة القرص!

هذه الطريقة هي ببساطة ما يلي: # "وحدة التخزين" = piint_a ^ ^ من 2DX #

الفكرة بسيطة ، ولكن يجب عليك استخدامها بذكاء.

وهذا ما سنفعله.

دعنا ندعو حجم لدينا #الخامس#

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ ب (4 y_1) ^ 2DX #

# V_2 = piint_a ^ ب (4 y_2) ^ 2DX #

NB: انى آخذ # (4 ص) # لان # ذ # ليست سوى المسافة من # # س- المحور إلى المنحنى ، بينما نريد المسافة من الخط # ذ = 4 # إلى المنحنى!

الآن لتجد #ا# و #ب#، نحن متساوين # # y_1 و # # y_2 ومن ثم حل ل # # س

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2X ^ 2 + 2X-3X + 3 = 0 #

# => (2X-3) (س + 1) = 0 => {(س = 3/2 = 1.5)، (س = -1):} #

منذ #ا# يأتي قبل #ب#, # => ل= -1 # و # ب = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (س ^ 2 + س 4) ^ 2DX #

# => piint (-1) ^ (1.5) (س ^ 4 + 3X ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) = DX بي س ^ 05/05 + س ^ 4 / 2- (7X ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

تفعل الشيء نفسه ل # # V_2:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2DX #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2X ^ 2 + س ^ 4) DX = بي س + (2X ^ 3) / 3 + س ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = اللون (الأزرق) ((685pi) / 32) #