ما هو orthocenter من مثلث مع زوايا في (4 ، 7) ، (8 ، 2) ، و (5 ، 6) #؟

إجابة:

إحداثيات أوروسنتر # اللون (الأحمر) (O (40 ، 34) #

تفسير:

منحدر قطاع الخط قبل الميلاد # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

ينحدر من #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

معادلة الارتفاع التي تمر عبر A وعمودي إلى BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

منحدر قطاع الخط AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

يكون انحدار الارتفاع عمودي ا على BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

معادلة الارتفاع التي تمر من خلال B وعمودي إلى AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

حل Eqns (1) ، (2) نصل إلى إحداثيات orthocenter O

# x = 40 ، y = 34 #

إحداثيات orthocenter # أو (40 ، 34) #

التحقق:

ينحدر من #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

معادلة الارتفاع CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

إحداثيات أوروسنتر # أو (40 ، 34) #

إجابة:

Orthocenter: #(40,34)#

تفسير:

لقد عملت على حل القضية شبه العامة هنا (http://socratic.org/questions/what-is-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -و-2-8)

الاستنتاج هو orthocenter للمثلث مع القمم # (أ، ب)، # # (ج، د) # و #(0,0)# هو

# (x، y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b، a-c) #

دعونا نختبره بتطبيقه على هذا المثلث ومقارنة النتيجة بالإجابة الأخرى.

أولا نترجم (5 ، 6) إلى الأصل ، مع إعطاء القمتين المترجمتين الأخريين:

# (أ، ب) = (4،7) - (5،6) = (- 1،1) #

# (c، d) = (8،2) - (5،6) = (3، -4) #

نحن نطبق الصيغة في الفضاء المترجم:

# (x، y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5، -4) = -7 (-5، -4) = (35،28) #

الآن نترجم مرة أخرى لنتيجة:

Orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

يطابق الجواب الآخر!