ما هو int (cos (x)) ^ 4 dx؟

إجابة:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

تفسير:

بينما يبدو في البداية أنه جزء لا يتجزأ من مزعج حقا ، يمكننا فعلا استغلال هويات علم حساب المثلثات لكسر هذا لا يتجزأ في سلسلة من التكاملات البسيطة التي نحن أكثر دراية.

الهوية التي سنستخدمها هي:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

هذا يتيح لنا معالجة معادلة لدينا على هذا النحو:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

يمكننا الآن تطبيق قاعدة لدينا مرة أخرى للقضاء على cos ^ 2 (2x) داخل الأقواس:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

الآن لدينا بالفعل مشكلة تكامل بسيطة إلى حد ما ، يمكننا توزيع جزء لا يتجزأ من أقواسنا بحيث:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

كل واحد من هذه المثلثات تكاملات يتم التعامل مع القاعدة البسيطة التي #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax) #.

وهكذا،

# = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #