كيف يمكنني إثبات هذا؟ هل سيكون هذا باستخدام نظرية من التحليل الحقيقي؟

# "استخدم تعريف المشتق:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

#"لدينا هنا"#

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "نحن بحاجة لإثبات أن" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"أو"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"أو"#

#h '(x_0) = 0 #

# "with" h (x) = f (x) - g (x) #

#"أو"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"أو"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(بسبب" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"الآن"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "if" h> 0 "و" lim> = 0 "if" h <0 #

# "لقد افترضنا أن f و g مختلفان" #

# "هكذا" h (x) = f (x) - g (x) "يمكن تمييزها أيض ا ،" #

# "لذلك يجب أن يكون الحد الأيسر مساويا للحد الأيمن ، لذلك" #

# => ليم = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

إجابة:

سأقدم حلا أسرع من الحل في http://socratic.org/s/aQZyW77G. لهذا علينا أن نعتمد على بعض النتائج المألوفة من حساب التفاضل والتكامل.

تفسير:

حدد #h (x) = f (x) -g (x) #

منذ #f (x) le g (x) #، نحن لدينا #h (x) le 0 #

في # س = x_0 # ، نحن لدينا #f (x_0) = g (x_0) #، لهذا السبب #h (x_0) = 0 #

وهكذا # س = x_0 # هو الحد الأقصى من وظيفة التفاضلية # س (خ) # في داخل الفاصل الزمني المفتوح # (أ، ب) #. وهكذا

#h ^ '(x_0) = 0 تعني #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) تعني #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #