عند القيام بمضاعفات langrage لحساب التفاضل والتكامل 3 ... دعنا نقول أنني وجدت نقاطي الحرجة بالفعل وحصلت على قيمة منها. كيف أعرف ما إذا كانت قيمة الحد الأدنى أو الحد الأقصى؟

إجابة:

إحدى الطرق الممكنة هي اختبار Hessian (الاختبار المشتق الثاني)

تفسير:

عادة للتحقق مما إذا كانت النقاط الحرجة هي دقائق أو حالات قصوى ، ستستخدم غالب ا اختبار المشتق الثاني ، الذي يتطلب منك العثور على 4 مشتقات جزئية ، على افتراض # F (X، Y) #:

# F _ { "س س"} (س، ص) #, # F _ { "س ص"} (س، ص) #, # F _ { "YX"} (س، ص) #و # F _ { "yyyy إنهاء"} (س، ص) #

لاحظ أنه إذا كان كلاهما # F _ { "س ص"} # و # F _ { "YX"} # هي مستمرة في المنطقة ذات الاهتمام ، وسوف تكون متساوية.

بمجرد تحديد هذه العناصر الأربعة ، يمكنك بعد ذلك استخدام مصفوفة خاصة يشار إليها باسم Hessian للعثور على محدد لتلك المصفوفة (والتي ، في كثير من الأحيان مربكة ، يشار إليها باسم Hessian أيض ا) ، والتي ستمنحك بعض المعلومات حول طبيعة النقطة. وبالتالي ، حدد مصفوفة هسيان على النحو التالي:

#H = | (f_ {"xx"} لون (أبيض) (، أأ) f_ {xy}) ، (f_ {yx} لون (أبيض) (، أأ) f_ {yy}) | #

بمجرد إنشاء هذه المصفوفة (وستكون مصفوفة "دالة" ، نظر ا لأن المحتويات ستكون وظائف x و y) ، يمكنك بعد ذلك أخذ واحدة من نقاطك المهمة وتقييم محدد المصفوفة بأكمله. وهي:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0 ، y_0) * f_ {"yy"} (x_0 ، y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0 ، y_0)) ^ 2 #

بناء على نتائج هذا الحساب ، قد تتعلم طبيعة النقطة الحرجة:

إذا #H> 0 #، هناك دقيقة / كحد أقصى في هذه المرحلة. تحقق من علامة # F _ { "س س"} #. إذا كانت إيجابية ، فإن النقطة هي دقيقة. إذا كانت سلبية ، فإن النقطة هي كحد أقصى. (هذا مشابه للاختبار المشتق الثاني "التقليدي" للوظائف أحادية المتغير x.)

إذا #H <0 #، هناك نقطة سرج في تلك المرحلة.

إذا #H = 0 #، الاختبار غير حاسم ويجب أن تعتمد على وسائل أخرى ، مثل الرسم البياني للدالة لتحديد بصريا.