كيف يمكنك العثور على الحد (arctan (x)) / (5x) مع اقتراب x من 0؟

إجابة:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

تفسير:

للعثور على هذا الحد ، لاحظ أن كل من البسط والمقام يذهب إلى #0# مثل # # س اقتراب #0#. هذا يعني أننا سنحصل على نموذج غير محدد ، وبالتالي يمكننا تطبيق قاعدة مستشفى.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

بتطبيق قاعدة L'Hospital ، نأخذ مشتق البسط والقاسم ، مما يتيح لنا

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

يمكننا أيضا التحقق من ذلك عن طريق رسم بياني للوظيفة ، للحصول على فكرة عما # # س اقتراب.

الرسم البياني لل # arctan x / (5x) #:

رسم بياني {(arctan x) / (5x) -0.4536 ، 0.482 ، -0.0653 ، 0.4025}

إجابة:

موضح أدناه طريقة أطول باستخدام علم حساب المثلثات.

تفسير:

فقط في حالة عدم ارتياحك لقاعدة L'Hopital ، أو إذا لم تتعرض لها بعد ، فهناك طريقة أخرى لحل المشكلة تتضمن استخدام تعريف الدالة الأقواس.

أذكر ذلك إذا # tantheta = س #، ثم # ثيتا = arctanx #. هذا يعني في الأساس أن قوس الظل هو عكس الظل. باستخدام هذه المعلومات ، يمكننا بناء مثلث حيث # tantheta = س # و # ثيتا = arctanx #:

من المخطط ، فمن الواضح أن # tantheta = س / 1 = س #. منذ # tantheta = sintheta / costheta #، يمكننا التعبير عن هذا على النحو التالي:

# tantheta = س #

# -> sintheta / costheta = س #

باستخدام هذا بالإضافة إلى حقيقة أن # ثيتا = arctanx #، يمكننا أن نجعل بدائل في الحد:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

هذا يعادل:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) ثيتا * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) ثيتا / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

نحن نعرف ذلك #lim_ (x-> 0) سينتا / ثيتا = 1 #. وبالتالي #lim_ (X-> 0) 1 / (sintheta / ثيتا) = 1/1 # أو #lim_ (X-> 0) ثيتا / sintheta = 1 #. ومنذ ذلك الحين # cos0 = 1 #، يتم تقييم الحد لـ:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) ثيتا / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#