ما هو طول السلم إذا كان سلم الطول L يحمل أفقيا قاب قوسين أو أدنى من قاعة بعرض 3 أقدام في القاعة بعرض 4 أقدام؟

النظر في جزء خط يعمل من # (س، 0) # إلى # (0، ذ) # من خلال الزاوية الداخلية في #(4,3)#.

سيكون الحد الأدنى لطول قطعة الخط هذا هو الحد الأقصى لطول السلم الذي يمكن المناورة حول هذه الزاوية.

لنفترض أن # # س خارج #(4,0)# بواسطة بعض عامل التحجيم ، # ق #، من 4 ، لذلك

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

مشاهدة ل # (1 + الصورة) # الظهور لاحق ا كقيمة ليتم أخذها في الاعتبار من شيء ما.

بواسطة مثلثات مماثلة يمكننا أن نرى ذلك

#y = 3 (1 + 1 / s) #

بواسطة نظرية فيثاغورس ، يمكننا التعبير عن مربع طول مقطع الخط كدالة لـ # ق #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

عادة نأخذ مشتق L (s) لإيجاد الحد الأدنى ولكن في هذه الحالة يكون من الأسهل أخذ مشتق من # L ^ 2 (ق) #.

(لاحظ أنه إذا #L (ق) # هو الحد الأدنى كما # ق = s_0 #، ثم # L ^ 2 (ق) # سيكون أيضا الحد الأدنى في # ق = s_0 #.)

أخذ أول مشتق من # L ^ 2 (ق) # ووضعه على الصفر ، نحصل على:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

ضرب من قبل # الصورة ^ 3 # ومن ثم العوملة # 2 (1 + s) #

يسمح لنا حل ل # ق #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

توصيل هذه القيمة مرة أخرى في المعادلة لـ # L ^ 2 (ق) # وأخذ الجذر التربيعي (لقد استخدمت جدول بيانات) ، نحصل عليه

أقصى طول سلم # = 9.87 قدم # (تقريبا)