كيف يمكنك العثور على القيم الدقيقة لـ cos 2pi / 5؟

إجابة:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + الجذر التربيعي (5)) / 4 #

تفسير:

هنا الحل الأكثر أناقة وجدت في:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4pi / 5) = جتا (2pi-4pi / 5) = جتا (6pi / 5) #

حتى إذا # x = 2pi / 5 #:

#cos (2X) = جتا (3X) #

استبدال cos (2x) و cos (3x) بصيغها العامة:

#color (red) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 و cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, نحن نحصل:

# 2cos ^ 2X-1 = 4cos ^ 3X-3cosx #

استبدال # # cosx بواسطة # ذ #:

# 4Y ^ ^ 3-2y 2-3Y-1 = 0 #

# (ص 1) (4Y ^ 2 + 2Y-1) = 0 #

نحن نعرف ذلك #Y! = 1 #، لذلك يتعين علينا حل الجزء التربيعي:

#Y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

#Y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

منذ #Y> 0 #, # ص = جتا (2pi / 5) = (- 1 + الجذر التربيعي (5)) / 4 #