استخدام المبدأ الأول للتمييز؟ ص = الجذر التربيعي (sinx)

إجابة:

الخطوة الأولى هي إعادة كتابة الوظيفة كأس عقلاني #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

تفسير:

بعد أن يكون لديك التعبير في هذا النموذج ، يمكنك التمييز بينه باستخدام قاعدة السلسلة:

في حالتك: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

ثم، # 1 / 2Sin (س) ^ {- 1/2} * كوس (خ) # وهو جوابك

إجابة:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

تفسير:

باستخدام تعريف الحد المشتق لدينا:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

لذلك لوظيفة معينة ، حيث # F (س) = الجذر التربيعي (sinx) #، نحن لدينا:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (الجذر التربيعي (الخطيئة (س + ح)) + الجذر التربيعي (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))) #

ثم يمكننا استخدام الهوية المثلثية:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

يعطينا:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

ثم نستخدم اثنين من حدود حساب التفاضل والتكامل القياسية:

# lim_ (theta -> 0) سينتا / ثيتا = 1 #و #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #و #

ويمكننا الآن تقييم الحدود:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# = (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #