لأي قيم x هي f (x) = x-x ^ 2e ^ -x مقعرة أو محدبة؟

إجابة:

ابحث عن المشتق الثاني وتحقق من علامته. إنه محدب إذا كان موجب ا ومقعر ا إذا كان سالب ا.

مقعر ل:

# x في (2-sqrt (2) ، 2 + sqrt (2)) #

محدب ل:

# x في (-oo ، 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2) ، + oo) #

تفسير:

# F (س) = س-س ^ ^ 2E -x #

المشتق الأول:

# F '(س) = 1- (2xe ^ -x + س ^ 2 * (- ه ^ -x)) #

# F '(س) = 1-2xe ^ -x + س ^ ^ 2E -x #

يأخذ # ه ^ -x # كعامل مشترك لتبسيط المشتق التالي:

# F '(س) = 1 + ه ^ -x * (س ^ 2-2x) #

المشتق الثاني:

# F '(س) = 0 + (- ه ^ -x * (س ^ 2-2x) + ه ^ -x * (2X-2)) #

# F '(س) = ه ^ -x * (2X-2X ^ 2 + 2X) #

# F '(س) = ه ^ -x * (- س ^ 2 + 4x و-2) #

الآن يجب علينا دراسة علامة. يمكننا تبديل علامة حل بسهولة من الدرجة الثانية:

# F '(س) = - ه ^ -x * (س ^ 2-4x + 2) #

# Δ = ب ^ 2-4 * على * ج = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

لجعل المنتج التربيعي:

#x_ (1،2) = (- ب + -sqrt (Δ)) / (2 * أ) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

وبالتالي:

# F '(س) = - ه ^ -x * (X- (2-الجذر التربيعي (2))) * (X- (2 + الجذر التربيعي (2))) #

• قيمة # # س بين هذين الحلين يعطي علامة سلبية من الدرجة الثانية ، في حين أن أي قيمة أخرى ل # # س يجعلها إيجابية.
• أي قيمة لل # # س يصنع # ه ^ -x # إيجابي.
• علامة سلبية في بداية وظيفة عكس جميع العلامات.

وبالتالي، # F '(خ) # هو:

إيجابي ، لذلك مقعر لـ:

# x في (2-sqrt (2) ، 2 + sqrt (2)) #

سالب ، لذلك محدب لـ:

# x في (-oo ، 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2) ، + oo) #