إثبات أن N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) عدد صحيح؟

إجابة:

يعتبر # t ^ 3-21t-90 = 0 #

هذا له جذر حقيقي واحد #6# المعروف أيضا باسم # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

تفسير:

النظر في المعادلة:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

باستخدام طريقة كاردانو لحلها ، دعونا #t = u + v #

ثم:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

للقضاء على المصطلح في # (ش + ت) #، أضف القيد # الأشعة فوق البنفسجية = 7 #

ثم:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

اضرب خلال # ش ^ 3 # وإعادة ترتيب للحصول على التربيعية في # ش ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

من خلال الصيغة التربيعية ، هذا له جذور:

# u ^ 3 = (90+ -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (أبيض) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (أبيض) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (أبيض) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

لأن هذا حقيقي وكان الاشتقاق متماثل ا فيه # ش # و #الخامس#، يمكننا استخدام واحدة من هذه الجذور ل # ش ^ 3 # والآخر ل # الخامس ^ 3 # لنستنتج أن الصفر الحقيقي لل # ر ^ 3-21t-90 # هو:

# t_1 = الجذر (3) (45 + 29sqrt (2)) + الجذر (3) (45-29sqrt (2)) #

لكننا نجد:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

حتى الصفر الحقيقي لل # ر ^ 3-21t-90 # هو #6#

وبالتالي # 6 = الجذر (3) (45 + 29sqrt (2)) + الجذر (3) (45-29sqrt (2)) #

#اللون الابيض)()#

حاشية

للعثور على المعادلة المكعبة ، استخدمت طريقة Cardano للخلف.

إجابة:

# ن = 6 #

تفسير:

صناعة # x = 45 + 29 قدم مربع (2) # و #y = 45-29 قدم مربع (2) # ثم

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) ص ^ (1/3) + ص #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

وبالتالي

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

أو الاتصال #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # نحن لدينا

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

مع # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # و #z = 6 # هو الجذر لذلك

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #