ما هي وظيفة مستمرة بالقطعة؟ + مثال

إجابة:

الوظيفة المستمرة قطعة هي وظيفة مستمرة إلا في عدد محدود من النقاط في مجالها.

تفسير:

لاحظ أن نقاط التوقف عن وظيفة مستمرة متقطعة لا يجب أن تكون متقطعة قابلة للإزالة. أي أننا لا نحتاج إلى جعل الوظيفة مستمرة من خلال إعادة تعريفها في تلك النقاط. يكفي إذا استبعدنا هذه النقاط من المجال ، فستكون الوظيفة مستمرة في المجال المقيد.

على سبيل المثال ، ضع في الاعتبار الوظيفة:

#s (x) = {(-1، "if x <0")، (0، "if x = 0")، (1، "if x> 0"):} #

الرسم البياني {(y - x / abs (x)) (x ^ 2 + y ^ 2-0.001) = 0 -5، 5، -2.5، 2.5}

هذا مستمر للجميع # x في RR # إلا #x = 0 #

التوقف في # س = 0 # غير قابل للإزالة. لا يمكننا إعادة تعريف # ثانية (خ) # عند هذه النقطة والحصول على وظيفة مستمرة.

في # س = 0 # الرسم البياني للدالة "يقفز". بشكل أكثر رسمية ، بلغة الحدود نجد:

#lim_ (x-> 0+) s (x) = 1 #

#lim_ (x-> 0-) s (x) = -1 #

إذن الحد الأيسر والحد الأيمن يختلفان مع بعضهما البعض ومع قيمة الوظيفة في # س = 0 #.

إذا استبعدنا المجموعة المحددة من حالات التوقف عن العمل من المجال ، فستكون الوظيفة المقيدة بهذا المجال الجديد مستمرة.

في مثالنا ، تعريف # ثانية (خ) # كدالة من # (- oo، 0) uu (0، oo) -> RR # مستمر.

إذا نحن الرسم البياني # ثانية (خ) # يقتصر على هذا المجال ، لا يزال يبدو أنه غير مستمر في #0#، لكن #0# ليس جزء ا من المجال ، وبالتالي فإن "القفز" غير ذي صلة. في أي لحظة ، على مقربة من التعسفي #0#، يمكننا اختيار فاصل زمني مفتوح قليلا حوله تكون فيه الوظيفة (ثابتة وبالتالي) مستمرة.

مربكة قليلا ، وظيفة #tan (خ) # يعتبر متواصل ا - بدلا من متواصل تدريجي ا ، نظر ا لأن المتقاربين في #x = pi / 2 + n pi # مستبعدون من المجال.

رسم بياني {tan (x) -10.06 ، 9.94 ، -4.46 ، 5.54}

وفي الوقت نفسه ، وظيفة مسننة #f (x) = x - floor (x) # لا تعتبر مستمرة بالقطعة كدالة من # # RR إلى # # RR، لكنه مستمر بشكل متقطع على أي فترة زمنية مفتوحة محدودة.

رسم بياني {3/5 (abs (sin (x * pi / 2)) - abs (cos (x * pi / 2)) - abs (sin (x * pi / 2) ^ 3) / 6 + abs (cos (x * pi / 2) ^ 3) / 6) * tan (x * pi / 2) / abs (tan (x * pi / 2)) + 1/2 -2.56 ، 2.44 ، -0.71 ، 1.79}