إجابة:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7 sqrt17) #
تفسير:
اسمحوا أولا # ر = cosx #.
# ص = ر ^ 2 + 7T + 8 #
الآن ، لنكمل المربع لعامل هذا.
# ص = (ر ^ 2 + 7T) + 8 #
لاحظ أن # (ر + 7/2) ^ 2 = (ر + 7/2) (ر + 7/2) #
# = ر ^ 2 + 7 / 2T + 7 / 2T + (7/2) ^ 2 #
# = ر ^ 2 + 7T + 49/4 #
لذلك نحن نريد أن أضيف #49/4# في التعبير وطرحه مرة أخرى.
# ص = (ر ^ 2 + 7T + 49/4) + 8-49 / 4 #
لاحظ أن #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# ص = (ر + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
الآن ، لاحظ ذلك # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# ص = (ر + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
الآن ، لدينا اختلاف في المربعات ويمكننا اعتبارها واحدة.
#Y = (ر + 7/2) + sqrt17 / 2 (ر + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# ص = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7 sqrt17) / 2) #
إذا كنا نرغب ، يمكننا أن نجلب عاملا مشتركا #1/2# من كل جزء:
# ص = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7 sqrt17) #
إجابة:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
تفسير:
سمح # u = cos (x) #
السؤال يصبح بعد ذلك:
عامل # ش ^ 2 + 7U + 8 # يمكنك فقط استخدام الصيغة التربيعية هنا ، على سبيل المثال # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
أو يمكنك القيام بذلك على المدى الطويل (وهو ليس أفضل من الصيغة ، في الواقع ، إنها إحدى الطرق المستخدمة لصياغة الصيغة التربيعية):
العثور على جذور ، # r_1 # و # r_2 # مثل ذلك # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
وسعت: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
على النحو التالي: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
وبالتالي: # - (r_1 + r_2) = 7 # و # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7 ، (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
وبالتالي ، فإن شكل العوامل هو # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
الفرعية # u = cos (x) # للحصول على:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
